數(shù)學史部分4-1-古希臘數(shù)學1

1、五、燦爛輝煌的古希臘數(shù)學： ? 杰出的數(shù)學家有：Thales，Phthagoras，Plato，Eudoxus，Aristotle，Euclid，Archimedes，Apollonius ? 古希臘文明大體分為兩個時期：（1） 古典時期的希臘數(shù)學（-6～-3世紀）（2）后希臘時期的數(shù)學——亞里山大里亞時期（-3～6世紀）,,,,,,,,,,,,,,,,,,非洲,亞洲,波斯帝國,歐洲,尼羅河,地中海,亞歷山大,米利都,埃及

2、,,意大利,雅典,斯巴達,,克里特,薩摩斯,伊利亞,克洛吞,西西里,敘拉古,耶路撒冷,大馬士革,拜占庭,馬其頓,這種方法可能比它以前的更簡潔，但是使用如此之多的不同符號，必然要給通常的算術(shù)運算帶來很大的困難。況且，它也模糊了數(shù)字之間的簡單關系，例如奇數(shù)和偶數(shù)之間的區(qū)別。,（一）泰勒斯和愛奧尼亞學派(Ionian school)泰勒斯 Thales，約-624～-546，出生于米利都(Miletus，土耳其)，愛奧尼亞學派的創(chuàng)始人.“希

3、臘哲學，科學之父”.被尊稱為“希臘七賢之首” 七賢：Thales，Solon，Chilon，Periander，Pittacus，Cleobulus，Bias,Thales of Miletus,傳說與軼事： 商旅活動；炸油機的故事； 梭倫的故事 ；言談幽默并常含有哲理 ；預測了-585年5月28日下午3點的日食 ；,泰勒斯的數(shù)學貢獻：1.開創(chuàng)了命題的幾何證明（1）直角都相等（2）對頂角相等（3）等腰三角形之底

4、角相等（4）直徑等分圓周（5）圓周角定理（6）全等三角形的角邊角定理（7）內(nèi)接于半圓的角必為直角（8）兩個相似三角形的對應邊成比例（9）三角形的內(nèi)角和為180度,2.利用金字塔的影長測量金字塔的高度（1）Thales在他的影子和他自己一樣長的時候記下金字塔影子的長.（2）Thales立下一根竿，然后利用相似三角形 . 3.天文學：地球的形狀，一年約為365天.,（二）Pythagoras學派：Pythagroa

5、s：-572__-497, 薩摩斯島(Samos) 克倫吞（Crotona）Pythagroas學派上帝用數(shù)來統(tǒng)治宇宙,(This is a detail from the fresco The School of Athens by Raphael),? “四藝”：算術(shù)——數(shù)的絕對理論， 幾何學——靜止的量，音樂——數(shù)的應用， 球面學(天文學)——運動的量.1.萬物皆數(shù)：萬事萬物都可以表示成整數(shù)及整數(shù)比的形式.

6、2.畢氏定理：,1）在直角三角形斜邊上的正方形等于直角邊上的兩個正方形；2）直角三角形兩個直角邊上的兩個正方形面積之和，等于斜邊上正方形的面積；3）直角三角形斜邊上的長度的平方等于兩個直角邊長度平方之和.,,－Plato,3、形數(shù)：? 三角形數(shù):1,3,6,10… 第n個三角形數(shù)為,,,? 正方形數(shù):1,4,9,16... 平方數(shù)可以看作從1起連續(xù)奇數(shù)之和,,? 五邊形數(shù)：,,? 六邊形數(shù)：,關于數(shù)形有趣的定理：

7、 1.任何一個正方形數(shù)都是兩個相鄰三角形數(shù)之和. 2.第n個五邊形數(shù)等于第(n-1)個三角形數(shù)的三倍加n. 3.從1開始任何兩個相繼奇數(shù)之和是完全平方數(shù).,,,,,,,,,,,4.任何長方形數(shù)都是一個三角形數(shù)的2倍.,,,4、完全數(shù)與親和數(shù)：? 完全數(shù)：一個數(shù)=除它本身外的所有因子之和.6=1+2+3,

8、 28=1+2+4+7+14, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248完全數(shù)的相關性質(zhì)：(1).完全數(shù)可寫為連續(xù)自然數(shù)之和.(2).完全數(shù)的全部正因子的倒數(shù)之和＝2.(3).除6外，各個數(shù)位上的數(shù)碼和＝1.(4).第n個完全數(shù)是一個n位數(shù).(5).所有的完全數(shù)以6和8交替結(jié)尾.,? 親和數(shù)：m和n，m等于n的因子之和，m等于n的因子之和.　　　　例如：220和284為親和數(shù) 1636年，F(xiàn)er

9、mat宣布17296和18416是親和數(shù).1747年，Euler給出了一個62對的親和數(shù)表.,(6).有無窮多個完全數(shù).(7).Euclid給出的偶完全數(shù)公式,,5、證明并發(fā)現(xiàn)了5種正多面體：正4， 6， 8， 12， 20面體 火 土 氣 宇宙 水6、正五邊形和相似多邊形的作圖法，并研究了黃金分割. 7、證明了 “三角形內(nèi)角和等于兩直角”.8、最卓越的貢獻——不可通約量的發(fā)現(xiàn)(希帕索斯-Hip

10、pasus)，導致第一次數(shù)學危機.即邊長為1的正方形的對角線與邊長的比不能表示為整數(shù)或整數(shù)比的形式.,,,,,,,9、代數(shù)恒等式：,10、音階研究的鼻祖：11、天文學：日、月、五星及其他天體都呈球形，浮懸在太空中.,（三）、柏拉圖及其學園： 柏拉圖（Plato）公元前427年生于雅典，公元前347年卒于雅典，認識論、數(shù)學哲學、數(shù)學教育.,,-479年，雅典的興起希波克拉底斯（Hippocrates，-470_-430）以后的第一

11、人. 老師：蘇格拉底（Socrate,-469_-399）-387年，在雅典城建立了自己的學園. 592年,教皇查士丁尼(Justinian)下令關閉.“不懂幾何者不得入內(nèi)！” 畢氏學派和亞歷山大里亞學派之間的紐帶.,蘇格拉底,主要成就：,1、堅持嚴密定義和邏輯證明，數(shù)學的科學化;2、知道級數(shù)的很多重要性質(zhì)；3、闡明了負數(shù)的概念；4、發(fā)展了分析的證明方法—分析法：5、　　　　　　　構(gòu)成直角三角形；6、幾何學軌跡；7

12、、深信數(shù)學是抽象的概念.,,理念論,有四種圓：1)被世人稱為是圓的某種東西；2)圓的定義：在任何方向上的邊界點到中心的距離都是相等的；3)畫出的一個圓，即旋轉(zhuǎn)圓規(guī)所得到的圓；4)實質(zhì)性的圓，即圓的理念，它與其他圓的存在密切相關，但又不同于任何其他的圓他說，1).2).3)都是不完善的圓，許多具體的數(shù)學圓其實介于這些不完善的圓與唯一的圓的理念之間;4)才是唯一的圓的理念.,8、公理法的前身：9、天文學10、繼承了畢達哥拉斯的

13、“萬物皆數(shù)”的觀點兩種三角形,正方形的一半,等邊三角形的一半Plato體11、學園精英：亞里士多德,歐多克斯,門奈赫莫斯,泰特托斯, 歐幾里德,12、主要著作： 35篇《對話》和13封書札. 《理想國》13、數(shù)學美14、傳授數(shù)學的思想方法（1）因材施教，倡導多層次的數(shù)學教育；（2）理智助產(chǎn)術(shù)—誘導和啟發(fā)式的傳授方式,Raphael《Athens school》,Palto

14、 Pythagoras,Euclid,歷史：-323～-30年，亞歷山大時期世界學術(shù)的中心：　　托勒密王國的都城－亞歷山大里亞藏書75萬卷的圖書館研究機構(gòu)“藝神之宮” -30年，亞歷山大里亞并入羅馬帝國版圖希臘數(shù)學的黃金時代（-300～-200）代表人物是三大幾何學家：Euclid，Archimedes，Aollonius.,（四）、阿基米德Archimedes-28

15、7_-212J.策策斯在《史書》中有記載：“智者阿基米德是敘拉古人，著名的機械制造者，終生研究幾何，活到75歲.”被稱為“數(shù)學之神.”,數(shù)學史家貝爾(Bell)說：“任何一張列出有史以來三個最偉大數(shù)學家的名單中，必定會包括阿基米德，另外兩位通常是牛頓和高斯，不過以他們的豐功偉績和所處的時代背景相比，還應首推阿基米德.”,1、金冠之謎：流體靜力學第一定律:物體在流體中減輕的重量,等于排去流體的重量.2、“給我一個支點，我

16、可以移動地球.”—杠桿定律,3、敘拉古保衛(wèi)戰(zhàn)： 　“布匿戰(zhàn)爭” 　　-214年，羅馬名將馬塞勒斯率領大軍圍攻敘拉古，Arcihmedes利用自己的發(fā)明為國效力，由于Archimedes的防衛(wèi)武器，敘拉古抵抗羅馬人的攻擊，守了三年之久.（1）類似起重機的器械（2）拋石機（3）巨大的火鏡 （4）叫”蝎子“的弩炮 （5）阿基米德螺旋泵,火鏡,阿基米德螺旋泵,-212年，敘拉古倫陷,墓碑上的墓志銘,世人的評價：,哈密頓(Hamil

17、ton) ：“誰不認為，Archimedes的名聲比他的戰(zhàn)勝者馬塞勒斯的名聲高？”懷特海(Whitehead) ：“沒有一個羅馬人死于對幾何圖形的沉思中.”數(shù)學家哈代(Hardy)說：“Archimedes將被人們記住，而哀斯奇勒斯（希臘悲劇詩人）將被遺忘，因為語言會死，而數(shù)學思想則不.” 伏爾泰（Voltaire）說：“Archimedes頭腦中的想象力，比荷馬頭腦中的要多.”,4、主要數(shù)學著作：數(shù)學闡述的典范，寫得完整、簡煉

18、，顯示出巨大的創(chuàng)造性；計算計能和證明的嚴謹性.最大貢獻也許是某些積分方法的早期萌芽.《論球與圓柱》On the Sphere and Cylmder《論螺線》On Spirals《拋物線弓形面積求積法》 Quadrature of the Parabola,《數(shù)沙器》The Sand-Reckoner《論圓錐線體和類球體》On Conoids and Spheroids《圓的度量》Measurement of Circle

19、《平面圖形的平衡及其重心》On the Equilibrium of Planes or the Centres of Gravity of Planes《論浮體》ON Floating Bodies《引集論》Book of lammas《牛群問題》The Cattle-Problem,5、主要成就：①兩點之間直線最短；②S球 = 4S大圓;③V球 = 4V圓錐，V球 =2/3 V外接圓柱；④球缺,球冠,球心角體表面積及體

20、積的研究；⑤用圓錐曲線解三次方程；⑥圓的面積等于一個以其周長及半徑作兩份個直角邊的直角三角形的面積； S圓＝半徑×半周長⑦圓面積：外切正方形面積之比為11:14；相當于取π=22/7，,⑨、利用“窮竭法”研究橢圓,雙曲面,拋物面被一平面所截的體積,與“積分法”十分相似,這是積分的早期來源之一.利用上,下界來確定一個量的近似值,還提供了一個誤差的估計.⑩、旋轉(zhuǎn)拋物體被垂直于軸的平面所截取的部分的體積

21、等于同底等高的圓錐體的3/2；,,,⑧、圓的周長與直徑之比小于　　而大于,⑾、著名的阿基米德螺線—— r = aθ結(jié)論：第一面積等于第一圓的１/3.,⑿、《平面圖形的平衡及其重心》中的杠桿定理：若兩重物平衡，則所處的距離與重量成反比.（公理法） ⒀、《數(shù)沙器》以萬為單位，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能夠表示出來.⒁、拋物線弓形面積等于同底等高的三角形面積的4/3.,⒃、正七邊形作圖法：Archmedes已經(jīng)發(fā)現(xiàn)正七邊形的作圖

22、法，自然不是尺規(guī)作圖，可惜方法已經(jīng)失傳. ⒄、阿基米德公理：若有兩個量a，b滿足a＜b，則一定存在一個自然數(shù)n，使na＞b .——這是連續(xù)公理中重要公理之一.,⒂、三角形面積公式 △=s是的半周長，通常稱為海倫公式.,結(jié)束語,歷史上有的數(shù)學家勇于開辟新的園地，而缺乏縝密的推理，有的數(shù)學家偏重于邏輯證明，而對新領域的開拓徘徊不前。阿基米德則二者兼而有之，他將驚人的獨創(chuàng)與嚴格的論證融為一體，更善于將計算技巧與邏輯分析結(jié)合起來。