數(shù)學(xué)史選講

1、數(shù)學(xué)史選講,魯東大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院范永順2008年7月17日,,,一、圓周率的計(jì)算,1、劉徽的成就《隋書》“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰《九章算術(shù)注》。 《九章算術(shù)注》包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國數(shù)學(xué)史上的不朽地位。,劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論 。,劉徽在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”注中，提出割圓

2、術(shù)作為計(jì)算圓的周長、面積以及圓周率的基礎(chǔ)。割圓術(shù)的要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓。劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，并計(jì)算逐次得到的正多邊形的面積和周長。他指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”,劉徽從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，并取半徑為1尺，一直計(jì)算到192邊形，得出了圓周率的精確到小數(shù)點(diǎn)后二位的近似值 ，化成分?jǐn)?shù)為 ，這就是有名的“徽率”。,,2 祖沖之

3、關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn),祖沖之（公元429-500，如圖）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之在公元462年創(chuàng)制了一部歷法《大明歷》，這在當(dāng)時(shí)是最先進(jìn)的歷法.,祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》中，《隋書﹒律歷志》說：,“祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二

4、秒六忽，正數(shù)在盈肭二限之間”。,也就是說，祖沖之算出了圓周率數(shù)值的上下限：.,《隋書﹒律歷志》還記載了祖沖之在圓周率計(jì)算方面的另一項(xiàng)重要結(jié)果：“密率：圓徑一百一十三，圓周三百五十五；約率：圓徑七，周二十二”。這就是說祖沖之還確定了圓周率的分?jǐn)?shù)形式的近似值：約率 ；密率 。,在現(xiàn)代數(shù)論中，如果將圓周率 表示成連分?jǐn)?shù)，其漸近分?jǐn)?shù)是：,第4項(xiàng)正是密率，它是分子、分母不超過1000的分?jǐn)?shù)中最接近 真值

5、的分?jǐn)?shù)?！懊苈省币卜Q“祖率”。,3 阿爾·卡西求圓周率 阿爾·卡西(?—1429)求圓周率π=3.1415926535897932。精確到小數(shù)點(diǎn)后16位 計(jì)算圓面積、周長，實(shí)際上都在計(jì)算圓周率。 計(jì)算圓面積、周長都利用了遞推關(guān)系。,二 球體積,1 劉徽的成就 劉徽首先證明了《九章算術(shù)》中的球體積公式是不正確的，并在《九章算術(shù)》“開立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球體積公式

6、的正確途徑。 劉徽創(chuàng)造了一個(gè)新的立體圖形，他稱之為“牟合方蓋”，并指出：一旦算出牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得。在一立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱。這兩個(gè)圓柱體相交的部分，就是劉徽所說的“牟合方蓋”。牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同它相切。如果用同一個(gè)水平面去截它們，就得到一個(gè)圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）。,劉徽指出，在每一高度上的水平截面圓與其外切正方形的面積之

7、比都等于 ，因此球體積與牟合方蓋體積之比也應(yīng)該等于 。,劉徽在這里實(shí)際已用到了西方微積分史著作中所說的“卡瓦列利原理”，可惜沒有將它總結(jié)為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢？劉徽終于未能解決。,最后他說：“敢不闕疑，以俟(si)能言者!”,劉徽雖然沒有推證出球體積公式， 但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法，成為后來祖沖之父子在球體積問題上取得突破的先導(dǎo)。,劉徽《九章算術(shù)注》還有其他許多數(shù)學(xué)成果，特別是他在《九章算術(shù)》“

8、勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術(shù)注》第十卷，后來單獨(dú)刊行，稱為《海島算經(jīng)》。,,用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為π：4，于是由劉徽原理立即得到V球:V牟=π：4即 V球= （π/4） V牟。,2、 祖沖之與祖暅的成就,“小方蓋差” 與球體積公式,,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為a，UQ是球半徑r，UP是高h(yuǎn)。根據(jù)勾股定理得 a

9、2 = r2 – h2;這正是截平面PQRS的面積 中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于 右圖，底邊為r，高也是r的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是h2,根據(jù)祖暅原理可知：小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,,概言之，祖暅推導(dǎo)幾何圖形體積公式的方法是以下列兩條原理為基礎(chǔ)：,（1）出入相補(bǔ)原理；,（2）祖氏原理：冪勢(shì)既同，則積不容異。,祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(B.Cavalier

10、i)獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。,劉徽和祖沖之父子的工作，思想是很深刻的，它們反映了魏晉南北朝時(shí)代中國古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達(dá)到的高度。祖沖之父子的方法都記載在《綴術(shù)》中?！毒Y術(shù)》在隋、唐時(shí)期曾與《九章算術(shù)》一起被列為官學(xué)教科書，但《隋書﹒律歷志》中已說：“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W”了！《綴術(shù)》于公元10世紀(jì)在中國本土完全失傳。,3 阿基米德的數(shù)學(xué)成就,全部歷史上任何三個(gè)“最偉大”的數(shù)學(xué)家的名單都將包括阿基米德（Arc

11、himedes,公元前287-前212）的名字(通常與他相聯(lián)系的另外兩個(gè)名字是牛頓和高斯)。,阿基米德的著述極為豐富，但多以類似論文手稿而非大部巨著的形式出現(xiàn)。這些著述內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)、力學(xué)及天文學(xué)等，其中流傳于世的有：,(1)《圓的度量》；,(2)《拋物線求積》；,(3)《論螺線》；,(4)《論球和圓柱》；,(5)《論劈錐曲面和旋轉(zhuǎn)球體》；,(6)《引理集》；,(7)《處理力學(xué)問題的方法》；,(8)《論平面圖形的平衡或其重心》；,(9)《

12、論浮體》；,(10)《沙粒記數(shù)》；,(11)《牛群?jiǎn)栴}》。,阿基米德的數(shù)學(xué)著作集中探討與面積和體積計(jì)算相關(guān)的問題。在《圓的度量》中，阿基米德將窮竭法應(yīng)用于圓的周長和面積公式。他從圓內(nèi)正接三角形出發(fā)，邊數(shù)逐次加倍，計(jì)算到正96邊形而得到圓周率 的近似 。在《球和圓柱》中，他運(yùn)用窮竭法證明了與球的面積和體積有關(guān)的公式。他證明的命題包括：任一球面積等于其大圓面積的四倍；以球的大圓為底，以球直徑為高的圓柱，其體積是球體積的 ，

13、其包括上、下底在內(nèi)的表面積是球面積的 ；等等。,阿基米德的數(shù)學(xué)工作是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范，這在其《處理力學(xué)問題的方法》中有充分的體現(xiàn)?！斗椒ā钒ㄓ?5個(gè)命題，集中闡釋了發(fā)現(xiàn)求積公式的方法，這種通常稱為“平衡法”的方法，實(shí)質(zhì)上是一種原始的積分法。它是將需要求積的量（面積、體積等）分成許多微小的單元（如微小線段、薄片等），再用另外一組微小單元來進(jìn)行比較，而后一組微小單元的總和比較容易計(jì)算。只不過這兩組微小單元的比較是借助于

14、力學(xué)上的杠桿平衡原理來實(shí)現(xiàn)的。因此，平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，可以說是阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績(jī)。阿基米德本人用它解決了一系列幾何圖形的面積、體積計(jì)算問題。,例：平衡法求球體積 當(dāng)然，平衡法本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識(shí)到他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以當(dāng)他用平衡法求出一個(gè)面積或體積之后，必再用窮竭法給以嚴(yán)格的證明。這種發(fā)現(xiàn)與求證的雙重方法，是阿基米德獨(dú)特的思維模式，也可以說是他勝歐幾里得一籌之處。,設(shè)球的半

15、徑為R，如圖作球、圓柱、圓錐的軸截面。延長SN到T使TN=2R。在與N距離為x處割出厚度為△x的三個(gè)薄片（可看成近似的圓柱體），它們的體積分別是：球薄片:圓柱薄片： ，圓錐薄片： 將球薄片與圓錐薄片的重心吊在點(diǎn)T處，圓柱薄片的重心仍在原處，以N為支點(diǎn)考慮兩邊的力矩：,,,,左力矩=[ + ]2R= 右力矩= 將所有這些薄片繞

16、N點(diǎn)的力矩加在一起便得：（球體積+圓錐體積）2R= 4（圓柱體積）R ，球體積=2圓柱體積-圓錐體積,,,,,4、開普勒求體積開普勒把球看成是由無窮多個(gè)棱錐組成的，每個(gè)棱錐的頂點(diǎn)都在球心，底面在球的表面上，高等于球半徑r．把這些棱錐的體積加起來，由棱錐體積公式立即得到 用無窮多個(gè)同維的無限小元素之和來確定曲邊形面積和體積，這是開普勒求積術(shù)的核心，是他對(duì)積分學(xué)的最大貢獻(xiàn)．他的許多后繼者都吸取了這一精華．,5 卡瓦列里的工作伽

17、利略的學(xué)生卡瓦列里(1598—1647)不僅繼承了開普勒與伽利略的思想，而且有明顯的變革． 第一，他不再把幾何圖形看作同維無窮小元素所組成，而是看作由維數(shù)較低的無窮小元素所組成，并把這些無窮小元素稱為“不可分量”．例如，體積的不可分量是無數(shù)個(gè)平行的平面． 第二，他建立起兩個(gè)給定幾何圖形的不可分量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，若每對(duì)量的比都等于同一個(gè)常數(shù)，則他斷定兩個(gè)圖形的面積或體積也具有同樣比例． 所謂卡瓦列里原

18、理便是在此基礎(chǔ)上提出的，下面，我們以他對(duì)球體積的推導(dǎo)為例，說明他是怎樣通過不可分量的比較來求積的．,如圖11．3，設(shè)DHC是以O(shè)為圓心的半圓，ABCD是它的外切矩形．以O(shè)H為旋轉(zhuǎn)軸，則正方形OHBC畫出圓柱，三角形OHB畫出圓錐，而弧HC畫出半球面．用平行于底面的任意平面去截這些圖形，則產(chǎn)生以G為圓心的半徑分別為RG、FG和EG的圓，它們分別為圓柱、圓錐和半球的不可分量，這些不可分量存在如下關(guān)系： OE2=GO2＋EG2即