邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ),內(nèi)容提要,本章介紹分析數(shù)字邏輯功能的數(shù)學方法。首先介紹邏輯代數(shù)的基本運算、常用公式和基本定理，然后介紹邏輯代數(shù)及其表示方法、邏輯函數(shù)的化簡。重點掌握卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，為后續(xù)課程打下基礎(chǔ)。,本章的內(nèi)容,2.1 概述2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運算2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.5 邏輯函數(shù)及其表示方法2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法2.7 具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡,2.1

2、 概述,在數(shù)字電路中，1位二進制數(shù)碼“0”和“1”不僅可以表示數(shù)量的大小，也可以表示事物的兩種不同的邏輯狀態(tài)，如電平的高低、開關(guān)的閉合和斷開、電機的起動和停止、電燈的亮和滅等。這種只有兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系，稱為二值邏輯。,當二進制數(shù)碼“0”和“1”表示二值邏輯，并按某種因果關(guān)系進行運算時，稱為邏輯運算，最基本的三種邏輯運算為“與”、“或”、“非”，它與算術(shù)運算的本質(zhì)區(qū)別是“0”和“1”沒有數(shù)量的意義。故在邏輯運算中1+1=1(或運

3、算）,2.1.1 二值邏輯和邏輯運算,數(shù)字電路是一種開關(guān)電路，輸入、輸出量是高、低電平，可以用二值變量（取值只能為0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關(guān)系是一種邏輯上的因果關(guān)系。仿效普通函數(shù)的概念，數(shù)字電路可以用邏輯函數(shù)的的數(shù)學工具來描述。,2.1.2 數(shù)字電路的特點及描述工具,邏輯代數(shù)是布爾代數(shù)在數(shù)字電路中二值邏輯的應用，它首先是由英國數(shù)學家喬治.布爾（George Boole）提出的，用在邏輯運算上。后來用在數(shù)字電路中，就被稱為開關(guān)

4、代數(shù)或邏輯代數(shù)，它是邏輯函數(shù)的基礎(chǔ)。,注意：,1. 邏輯代數(shù)和普通數(shù)學代數(shù)的運算相似，如有交換律、結(jié)合律、分配律，而且邏輯代數(shù)中也用字母表示變量，叫邏輯變量。,2. 邏輯代數(shù)和普通數(shù)學代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，普通數(shù)學代數(shù)中的變量取值可以是正數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)和無理數(shù)，是進行十進制（0～9）數(shù)值運算。而邏輯代數(shù)中變量的取值只有兩個：“0”和“1”。并且“0”和“1”沒有數(shù)值意義，它只是表示事物的兩種邏輯狀態(tài)。,2.2 邏輯代數(shù)中的三種基本運算,在二

5、值邏輯函數(shù)中，最基本的邏輯運算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種邏輯運算。,2.2.1 與運算,與運算也叫邏輯乘或邏輯與，即當所有的條件都滿足時，事件才會發(fā)生，即“缺一不可。,如圖2.2.1所示電路，兩個串聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是與邏輯事例，只有開關(guān)A、B同時閉合時燈才會亮。,設(shè)開關(guān)閉合用“1”表示，斷開用“0”表示 ；燈亮用“1”表示，燈滅用“0”表示（邏輯賦值），則可得到表2.2.1所示的輸入輸出的邏輯關(guān)系，稱為真值表,從表

6、中可知，其邏輯規(guī)律服從“有0出0，全1才出1”,這種與邏輯可以寫成下面的表達式：,稱為與邏輯式，這種運算稱為與運算,也可以用圖2.2.2表示與邏輯，稱為邏輯門或邏輯符號，實現(xiàn)與邏輯運算的門電路稱為與門。,2.2.2 或運算,或運算也叫邏輯加或邏輯或，即當其中一個條件滿足時，事件就會發(fā)生，即“有一即可,若有n個邏輯變量做與運算，其邏輯式可表示為,如圖2.2.3所示電路，兩個并聯(lián)的開關(guān)控制一盞燈就是或邏輯事例，只要開關(guān)A、B有一個閉合時燈

7、就會亮。,用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.2所示，其邏輯規(guī)律服從“有1出1，全0才出0”,其邏輯式為,上式說明：當邏輯變量A、B有一個為1時，邏輯函數(shù)輸出Y就為1。只有A、B全為0，Y才為0。,其邏輯門符號如圖2.2.4所示，實現(xiàn)或邏輯運算的門電路稱為或門。,若有n個邏輯變量做或運算，其邏輯式可表示為,3. 非邏輯運算,條件具備時，事件不發(fā)生；條件不具備時，事件發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做邏輯非，也稱邏輯求反,如圖2.2

8、.5所示電路，一個開關(guān)控制一盞燈就是非邏輯事例，當開關(guān)A閉合時燈就會不亮。,非邏輯運算也叫邏輯非或非運算、反相運算，即輸出變量是輸入變量的相反狀態(tài)。其邏輯式為,用與前面相同的邏輯賦值同樣也可得到其真值表如表2.2.3所示,注：上式也可寫成,其邏輯門符號如圖2.2.6所示，實現(xiàn)非邏輯運算的門電路稱為非門,以上為最基本的三種邏輯運算，除此之外，還有下面的由基本邏輯運算組合出來的邏輯運算,4. 與非（NAND）邏輯運算,與非運算是先與運算后非

9、運算的組合。以二變量為例，布爾代數(shù)表達式為：,其真值表如表2.2.4所示,其邏輯規(guī)律服從“有0出1，全1才出0”,實現(xiàn)與非運算用與非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.7所示,5. 或非（NOR）運算,或非運算是先或運算后非運算的組合。以二變量A、B為例，布爾代數(shù)表達式為：,或非邏輯規(guī)律服從有“1”出“0”全“0”出“1”,或非運算用或非門電路來實現(xiàn)，如圖2.2.8所示,其真值表如表2.2.5所示,與或非運算是“先與后或再非”三種運算的組合。以四

10、變量為例，邏輯表達式為：,上式說明：當輸入變量A、B同時為1或C、D同時為1時，輸出Y才等于0。與或非運算是先或運算后非運算的組合。在工程應用中，與或非運算由與或非門電路來實現(xiàn)，其真值表見書P22表2.2.6所示，邏輯符號如圖2.2.9所示,6.與或非運算,其門電路的邏輯符號如圖2.2.10所示,其布爾表達式（邏輯函數(shù)式）為,7. 異或運算,符號“⊕”表示異或運算，即兩個輸入邏輯變量取值不同時Y=1，即不同為“1”相同為“0”，異或運算

11、用異或門電路來實現(xiàn),其真值表如表2.2.6所示,?異或運算的性質(zhì),1. 交換律：,2. 結(jié)合律：,3.分配律：,推論：當n個變量做異或運算時，若有偶數(shù)個變量取“1”時，則函數(shù)為“0”；若奇數(shù)個變量取1時，則函數(shù)為1.,4.,8. 同或運算：,其布爾表達式為,符號“⊙”表示同或運算，即兩個輸入變量值相同時Y=1，即相同為“1”不同為“0” 。同或運算用同或門電路來實現(xiàn)，它等價于異或門輸出加非門，,其真值表如表2.2.7所示,其門電路的邏輯

12、符號如圖2.2.11所示,2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式,2.3.1 基本公式,表2.3.1為邏輯代數(shù)的基本公式，也叫布爾恒等式,表2.3.1 邏輯代數(shù)的基本公式,返回A,返回B,2. 交換律、結(jié)合律、分配律,a. 交換律： AB= BA A + B=B + A,b. 結(jié)合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B ＋C）= （A＋B） + C,c.

13、分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C),1.關(guān)于變量與常數(shù)關(guān)系的定理,說明：由表中可以看出,鏈接A,a. 互補律：,b. 重疊律：A · A = A A + A = A,c. 非非律：,d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A,e. 摩根定律：,注：以上定律均可由真值表驗證,3.邏輯函數(shù)獨有

14、的基本定理,鏈接B,2.3.2 若干常用公式,表2.3.2為常用的一些公式,表2.3.2 常用公式,說明：,1. A＋AB＝A：在兩個乘積項相加時，如果其中一項包含另一項，則這一項是多余的，可以刪掉；,2. A＋A?B＝A＋B：在兩個乘積項相加時，如果其中一項含有另一項的取反因子，則此取反因子多余的，可從該項中刪除；,3. AB＋A B? ＝A：在兩個乘積項相加時，如果它們其中的一個因子相同，而另一個因子取反，則兩項合并，保留

15、相同因子；,4. A（A＋B）＝A：在當一項和包含這一項的和項相乘時，其和項可以消掉,5.AB＋A ? C＋BC ＝ AB＋A ? C ：在三個乘積項相加時，如果前兩項中的一個因子互為反，那么剩余的因子組成的另一項則是多余的，可以刪掉； 公式AB＋A ? C＋BCD ＝ AB＋A ? C 的原理和上述相同,6. A（A B）? ＝A B ? ：如果某項和包含這一項的乘積項取反相乘時，則這一項可以刪掉；,7. A ? （A B）?

16、＝A ? ：當某個項取反和包含這一項的乘積項取反相乘時，則只保留這個取反項,以上的公式比較常用，應該能熟用，為以后邏輯函數(shù)的化簡打好基礎(chǔ),2.4 邏輯代數(shù)的基本定理,2.4.1 代入定理,內(nèi)容：任何一個含有變量A 的等式，如果將所有出現(xiàn) A 的位置都用同一個邏輯函數(shù)G來替換，則等式仍然成立。,利用代入定理可以證明一些公式，也可以將前面的兩變量常用公式推廣成多變量的公式,證明：方程的左邊有A的地方代入G得：,B[(A十D)十C] ＝B(A

17、十D)十BC＝BA十BD十BC,方程的右邊有A的地方代入G得：,B(A十D)十BC＝BA十BD十BC,故 B[(A十D)十C] ＝ B(A十D)十BC,例2.4.1 若B(A十C)＝BA十BC，現(xiàn)將所有出現(xiàn)A的地方都代入函數(shù)G＝A十D，則證明等式仍成立,證明：設(shè)G＝BC,代入公式左右的B中,同理設(shè)G＝B＋C代入式子左右的B,例2.4.2 試用代入規(guī)則證明摩根定律適用多變量的情況,可得,故：,可得,內(nèi)容：若已知邏輯函數(shù)Y的邏輯

18、式，則只要將Y式中所有的“.”換為“+”, “+”換為“.”,常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，所有原變量（不帶非號）變成反變量，所有反變量換成原變量，得到的新函數(shù)即為原函數(shù)Y的反函數(shù)（補函數(shù)） Y ?。利用摩根定律，可以求一個邏輯函數(shù) 的反函數(shù)。,2. 反演定理,注意：1. 變換中必須保持先與后或 的順序； 2. 對跨越兩個或兩個以上變量的“非號”要保留不變；,解：由摩

19、根定理,或直接求反,例2.4.3 已知Y＝A（B＋C ）＋C ?D ，求Y ?,解：由反演定理,,例2.4.4 若 Y＝[（A ? B） ? ＋C＋D] ? +C，求反函數(shù),或直接求反得,3.對偶規(guī)則,對偶式：設(shè)Y是一個邏輯函數(shù)，如果將Y中所有的“+”換成與“·”， “.”換成與“+” ，“1” 換成與“0”， “0” 換成與“1”，而變量保持不變，則所得的新的邏輯式 YD 稱為Y的對偶式。,如：,對偶規(guī)則：如果兩個函數(shù)

20、Y和G相等，則其對偶式Y(jié)D和GD也必然相等，Vice versa。利用對偶式可以證明一些常用公式,,例1.1.5 試利用對偶規(guī)則證明分配律 A＋BC=(A+B)(A+C)式子成立,證明：設(shè)Y＝ A＋BC，G＝ (A+B)(A+C)，則它們的對偶式為,由于,故Y＝G，即A＋BC=(A+B)(A+C),證明：設(shè),則它們的對偶式為,由于,故Y＝G，即,例1.1.6 試利用對偶規(guī)則證明吸收律A

21、＋A?B＝A＋B 式子成立,2.5 邏輯函數(shù)的定義：,其中：A1, A2 …An稱為n個輸入邏輯變量，取值只能是“0” 或是“1”，Y為輸出邏輯變量，取值只能是“0”或 是“1”,則F稱為n變量的邏輯函數(shù),在數(shù)字電路中，輸入為二值邏輯變量，輸出也是二值變量，則表示輸入輸出的邏輯函數(shù)關(guān)系，即,如 Y＝A＋B ?C，表示輸出等于變量B取反和變量C的與，再和變量A相或。,2.5.1 邏輯函數(shù),一 、邏輯真值表,2.5.2邏輯函數(shù)的幾種表示

22、方法,邏輯函數(shù)的表示方法很多，比較常用的如下：,邏輯真值表就是采用一種表格來表示邏輯函數(shù)的運算關(guān)系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能取值得組合，輸出部分根據(jù)邏輯函數(shù)得到相應的輸出邏輯變量值。,如表2.5.1表示的異或邏輯關(guān)系的函數(shù)，即,Y＝A ?B ＋AB ?,二 、邏輯函數(shù)式,按一定邏輯規(guī)律寫成的函數(shù)形式，也是邏輯代數(shù)式。與普通函數(shù)數(shù)不同的是，邏輯函數(shù)式中的輸入輸出變量都是二值的邏輯變量。,如異或關(guān)系的邏輯函數(shù)可寫成,Y＝A ?

23、B ＋AB ?,三、 邏輯圖法,采用規(guī)定的圖形符號，來構(gòu)成邏輯函數(shù)運算關(guān)系的網(wǎng)絡圖形,圖2.5.1表示的是異或關(guān)系的邏輯圖,四 波形圖法:,一種表示輸入輸出變量動態(tài)變化的圖形，反映了函數(shù)值隨時間變化的規(guī)律，也稱時序圖。,如圖2.5.2表示異或邏輯關(guān)系的波形。,除上面介紹的四種邏輯函數(shù)表示方法外，還有卡諾圖法、點陣圖法及硬件描述語言等。在后面的課程中將重點介紹卡諾圖法。,五、各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換,在設(shè)計數(shù)字電路時，有時需要進行各種表示

24、邏輯函數(shù)方法的轉(zhuǎn)換。,1. 真值表與邏輯函數(shù)式的相互轉(zhuǎn)換,通過下面的例子得出由真值表寫出邏輯函數(shù)的方法,例2.5.1 某邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.2所示，寫出邏輯函數(shù)式,（1）由真值表寫邏輯函數(shù)式,解：邏輯式為,總結(jié)：,①找出真值表中使邏輯函數(shù)為“1”的輸入變量的組合；,②對應每個輸出為“1”變量組合關(guān)系為與的關(guān)系，即乘積項，其中如圖輸入變量取值為“1 ”的寫成原變量，輸入變量取值為“0”的寫成反變量，如A ?B ?C,③將這些乘積項

25、相加，即得到輸出的邏輯式,例2.5.2 已知真值表如表2.5.3所示，試寫出輸出的邏輯函數(shù),解：其輸出的邏輯函數(shù)為,（2）由邏輯函數(shù)式寫出真值表,將輸入變量所有取值組合，代入邏輯函數(shù)式，得出輸出的值，并以表的形式表示出來。,例2.5.3 寫出邏輯函數(shù)Y＝AB ?＋C ?的真值表,解：其真值表如表2.5.4所示,2.邏輯函數(shù)式與邏輯圖的相互轉(zhuǎn)換,（1）由邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖,用邏輯符號代替邏輯函數(shù)中的邏輯關(guān)系，即可得到所求的邏輯圖,例2.

26、5.4 畫出邏輯函數(shù)Y＝[（AB+C ?） ?＋（ AC ?） ?＋B] ?的邏輯電路,解：其實現(xiàn)電路如圖2.5.3所示,（2）由邏輯圖寫出邏輯函數(shù)式,已知邏輯圖，根據(jù)邏輯門的輸入輸出關(guān)系，寫出整個邏輯圖的輸入輸出關(guān)系，得出輸出的邏輯函數(shù)式,例2.5.5 已知邏輯電路如圖2.5.4，試寫出輸出端的邏輯函數(shù)式，并寫出真值表,解：輸出的邏輯式為,由邏輯式寫出真值表，如表2.5.5所示,例2.5.6 設(shè)計一個邏輯電路，當三個輸入A、B、C

27、至少有兩個為低電平時，該電路輸出為高，試寫出該要求的真值表和邏輯表達式，畫出實現(xiàn)的邏輯圖,解：由邏輯要求寫出真值表，如表2.5.6所示,由真值表寫出邏輯式為,其實現(xiàn)的邏輯圖如圖2.5.5所示,3.波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換,（1）由波形圖得到真值表,根據(jù)所給的波形，列出各輸入變量組合所對應的輸出值,例2.5.7 已知邏輯函數(shù)Y的輸出波形如圖2.5.6所示，試分析其邏輯功能。,解：由所給的波形寫出輸入輸出的真值表，如表2.5.7所示,由真值

28、表可知，當輸入變量A、B取值相同時，輸出Y＝1； A、B取值不同時，輸出Y＝0。故輸出和輸入是同或關(guān)系。其邏輯函數(shù)式為,例2.5.8 已知圖2.5. 7所示是某個數(shù)字邏輯電路的輸入輸出波形，試畫出該組合邏輯電路圖，并判斷其邏輯功能,解:由波形得出真值表如表2.5.8所示,由真值表寫出輸出的邏輯式,由真值表可知，當輸出有奇數(shù)個“1”時，輸入為“1”。故此電路為“判奇電路”，其邏輯圖如圖2.5.8所示,（2）由真值表畫出波形圖,按照真值表的

29、輸入取值，畫出輸入輸出的波形。,例2.5.9 已知邏輯函數(shù)的真值表如表2.5.9所示，試畫出輸入輸出波形和輸出端的邏輯函數(shù)式。,解：由真值表畫出輸入輸出波形如圖2.5.9所示,輸出端的邏輯式為,2.5.3 邏輯函數(shù)的兩種標準型,一種輸入輸出的邏輯關(guān)系可以有多種等效的表達式表示，但可以化為標準形式。其標準型有兩種：標準與或式和標準或與式,1.最小項,a. 定義: 在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n個變量A1~ An，而 m 是由所有這n個變量組

30、成的乘積項（與項）。若m中包含的每一個變量都以A i 或A ?i 的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則稱m 是n變量的最小項。,注：n個變量構(gòu)成的最小項有2n個，通常用 mi 表示第i 個最小項，變量按A1~ An排列，以原變量出現(xiàn)時對應的值為“1”，以反變量出現(xiàn)時對應的值取“0”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i 。,一、最小項和最大項,表2.5.10、表2.5.11、表2.5.12分別為二變量、三變量和四變量的最小項,b. 最小項的性質(zhì),①對

31、于任一個最小項，僅有一組變量取值使它的值為“1”，而其它取值均使它為“0”?；蛘哒f在輸入變量的任何取值必有一個最小項也僅有一個最小項的值為“1”。,②n變量組成的全體最小項之邏輯和為“1”。即,2.最大項,a. 定義：在n變量的邏輯函數(shù)中，設(shè)有n 個變量A1~ An，而M是由所有這n個變量組成的和項（或項）。若M中包含的每一個變量都以Ai或A ?i 的形式出現(xiàn)一次且僅一次，則M是n變量的最大項。,注： n個變量構(gòu)成的最大項也有2n個，通

32、常用Mi表示第i個最大項，變量按A1~ An排列，以原變量出現(xiàn)時對應的值為“0”，以反變量出現(xiàn)時對應的值取“1”，按二進制排列時，其十進制數(shù)即為i 。,表2.5.13、表2.5.14分別為二變量、三變量的最大項，四變量最大項課下自己寫出,b. 最大項的性質(zhì),,①對于任一個最大項，僅有一組變量取值使它的值為“0”，而其它取值均使它為“1”?；蛘哒f在輸入變量的任何取值必有一個最大項也僅有一個最大項的值為“0”。,②n變量組成的全體最大項之邏

33、輯積為“0”。即,二、 邏輯函數(shù)的標準與或式型－最小項之和標準型,如,與或型特點：1.式子為乘積和的形式； 2.不一定包含所有的最小項，但每一 項必須為最小項,標準與或式的寫法：,在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一乘積項由于缺少一個變量不是最小項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之和這一項，使之稱為最小項，即利用公式A＋A?＝1,例

34、2.5.10 將邏輯函數(shù)Y＝A＋B ?C寫成標準與或式,解：,注意：變量的排列順序。,三、 邏輯函數(shù)的標準或與式型－最大項之積標準型,如,與或型特點：1.式子為和積的形式； 2.邏輯函數(shù)不一定包含所有的最大 項， 但每一項必須為最大項,標準或與式的寫法：,在n變量的邏輯函數(shù)中，若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中加上此變

35、量與這個變量的反變量之積這一項，即利用公式AA?＝0，然后利用公式A＋BC＝（A＋B）（A＋C）使之稱為最大項,例2.5.11 將邏輯函數(shù)Y＝AC＋ B ?C寫成或與式,解：,四、 最小項與最大項的關(guān)系,設(shè)有三變量A、B、C的最小項，如m5 ＝AB?C，對其求反得,由此可知對于n 變量中任意一對最小項 mi 和最大項Mi ，都是互補的，即,五、標準與或式和或與式之間的關(guān)系,若某函數(shù)寫成最小項之和的形式為,則此函數(shù)的反函數(shù)必為,如表2.5

36、.15中,上式或?qū)懗?利用反演定理可得,六、邏輯函數(shù)的兩種標準形式：,有時需要把任意邏輯函數(shù)變換為兩種標準形式：與或式（最小項之和）和或與式（最大項之積）。實現(xiàn)這種變換方法很多，可以利用添項、真值表、卡諾圖等實現(xiàn)，這里介紹利用添項和真值表將邏輯函數(shù)變換成標準型。,1.利用真值表,首先寫出邏輯函數(shù)的真值表，由真值表寫出最小項和最大項。,標準與或式寫法 ：由真值表確定邏輯函數(shù)為“1”的項作為函數(shù)的最小項(乘積項）。若輸入變量取“1”，則寫成

37、原變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成反變量。不同的輸出“1”為和的關(guān)系。,標準或與式寫法 ：由真值表確定邏輯函數(shù)為“0”的項作為函數(shù)的最大項（和項）。若輸入變量取“1”，則寫成反變量；若輸入變量取值為“0”，則寫成原變量。不同的輸出“0”為積的關(guān)系。,例2.5.12 試將下列函數(shù)利用真值表轉(zhuǎn)化成兩種標準形式,解：其真值表如表2.5.16所示,邏輯函數(shù)的標準或與型為,則邏輯函數(shù)的標準與或型為,標準或與式的寫法：在邏輯函數(shù)中，先將邏輯函

38、數(shù)化為和積式。若某一和項由于缺少一個變量不是最大項，則在這項中添加此變量與這個變量的反變量之積這一項，再利用A＝A＋BB ?＝（A＋B）（A＋B ?）使之稱為最大項,2.利用公式A＋A?＝1及A·A?＝0將邏輯函數(shù)變換為與或式和或與式,標準與或式寫法 ：在邏輯函數(shù)中，先將函數(shù)化成與或式（不一定是最小項），則在與項中利用公式 A＋A?＝1添加所缺的邏輯變量，寫成最小項的形式,例2.5.13 試利用添加項的方法將下面邏輯函數(shù)

39、轉(zhuǎn)化成與或標準式,解：標準與或式為,例2.5.14 試用添加項方法將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成或與標準式,解:,a. 在將一個n變量的邏輯函數(shù)寫成與或式（最小項之和）后，若要寫成或與式（最大項之和）時，其最大項的編號是除了最小項編號外的號碼，最小項與最大項的總個數(shù)為2n；,b. 由i個最小項構(gòu)成的與或式（最小項之和）邏輯函數(shù)，其反函數(shù)可以用i個最大項的或與式（最大項之和）表示，其編號與最小項編號相同。,總結(jié)：,例1.2.5 將下面邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)化成

40、兩種標準式，并求其反函數(shù),解：標準與或式為,標準或與式為,（注：反函數(shù)的最大項編碼與原函數(shù)最小項編碼相同）,反函數(shù)為,2.5.4 邏輯函數(shù)形式的變換,除了上述標準與或式和標準或與式的外，還需要將邏輯函數(shù)變換成其它形式。假如給出的是一般與或式，要用與非門實現(xiàn)，就需要將其變成與非－與非式。,一、與或式化為與非－與非式－－利用反演定理,例2.5.10 將下式Y(jié)=AC+BC?用與非門實現(xiàn)，并畫出邏輯圖。,解：用二次求反，將第一級非號用摩根定理

41、拆開，第二級保持不變。,如果本身有反變量輸入，則用二級與非門就可實現(xiàn)該函數(shù)，其邏輯電路如圖2.5.10所示。,如果只有原變量輸入，另外要用與非門實現(xiàn)反相C ?，其邏輯電路如圖2.5.11所示,二、將與非式化為與或非式,,例2.5.11將Y=AC+BC ?用與或非門實現(xiàn)，畫出邏輯圖。,解：先用反演定理求函數(shù)Y的反函數(shù)Y ? ，并整理成與或式，再將左邊的反號移到等式右邊，即兩邊同時求反。,這就可用與或門實現(xiàn)。其電路如圖2.5.12所示,多余

42、項,三、將與或式化為或非－或非式,,解：先將函數(shù)Y化為與或非形式，再用反演定理求Y ? ，并用摩 根定理展開，再求Y，就可得到或非－或非式。,例2.5.11 將下式Y(jié)=AC+BC ?用或非門實現(xiàn)。,其實現(xiàn)電路如圖2.5.13所示,或者先寫成最大項之積形式，再兩次取反，利用反演定理得到或非式,2.6 邏輯函數(shù)的化簡方法,一個邏輯函數(shù)有多種不同形式的邏輯表達式，雖然描述的邏輯功能相同，但電路實現(xiàn)的復雜性和成本是不同的。邏輯表達式越簡單，實

43、現(xiàn)的電路越簡單可靠，且低成本。因此在設(shè)計電路時必須將邏輯函數(shù)進行簡化。,注：隨著集成電路的發(fā)展，集成芯片的種類越來越多。邏輯函數(shù)是否“最簡”已無太大意義。但作為設(shè)計思路，特別對于中小規(guī)模集成電路，邏輯函數(shù)的簡化是不能忽視的,邏輯函數(shù)的簡化方法很多，主要有邏輯代數(shù)簡化法（公式法）和卡諾圖法,2.6.1 公式化簡法,公式法化簡就是利用邏輯代數(shù)的一些定理、公式和運算規(guī)則，將邏輯函數(shù)進行簡化。實現(xiàn)電路的器件不同，最終要得到的邏函數(shù)的形式不同，其

44、最簡的定義也不同。,對于要小規(guī)模集成門電路實現(xiàn)的電路，常用的門為與非門、或非門、與或非門等。由上一節(jié)可知，其最終都可以由與或式、或與式轉(zhuǎn)換而成。故最常用的是最簡與或式和最簡或與式。,最簡與或式：最簡的與或式所含乘積項最少，且每個乘積項中的因子也最少。,最簡或與式：最簡的或與式所含和項最少，且每個和項中的相加的項也最少。,1.與或式的簡化,(1)與或式：就是先與后或式（乘積和），最簡的與或式是所含與項最少，且每個與項的邏輯變量最少，則這個

45、與或式是最簡的。,下面討論公式法常用的化簡方法。,上式Y(jié)1和Y2實現(xiàn)同樣的邏輯功能，但Y1中不僅所含變量多，而且乘積項也多了一項，要用3個與門（不含非門）和一個或門實現(xiàn)，而Y2的變量有3個，兩個乘積項，用2個與門、1個或門實現(xiàn)即可，這樣即節(jié)省元件，也減少布線和功耗。,2.6.1 公式化簡法,(2) 與或式的簡化方法,a. 合并項法：利用AB＋A?B＝B消去一個變量；,b. 消除法：利用A＋ A?B＝A＋B消去多余變量；,c. 配項法：利

46、用 A＋A ?＝1 增加一些項，再進行簡化,說明：一般化簡需要各種方法綜合起來?；喰枰记珊徒?jīng)驗，需多練習。另外最后的結(jié)果是否為最簡，難以判斷。,2.6.1 公式化簡法,例2.6.1 將下式化為最簡與或式,,配項ABC,解法一：配項法,2.6.1 公式化簡法,解法二：用吸收法和消去法,二種方法結(jié)果一致，但過程繁簡不同。盡量選擇最佳方法，使化簡過程簡單,2.6.1 公式化簡法,例2.6.2 試將下面的邏輯函數(shù)簡化為最簡與或式,,解：,注

47、：從原式看，很難看出是不是最簡，而且用代數(shù)法簡化邏輯函數(shù)，不僅要熟悉邏輯代數(shù)公式，而且要靈活運用，而且不能保證最后結(jié)果最簡。,2.6.1 公式化簡法,例2.6.3 試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式,解：,多余項,,,,反演定理,,,2.6.1 公式化簡法,練習：試將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或式,2.6.1 公式化簡法,2.或與式的簡化,a.利用公式A（A＋B）＝A 及A（A?+B)=A化簡,解：,例2.6.4 試將下面的邏輯函數(shù)簡化為

48、最簡或與式,2.6.1 公式化簡法,b. 利用兩次求對偶式進行簡化,再求對偶式,如例2.6.4的邏輯函數(shù)：,其對偶式為,2.6.1 公式化簡法,2.6.2 卡諾圖化簡法,公式法簡化邏輯函數(shù)不直觀，且要熟練掌握邏輯代數(shù)的公式以及簡化技巧，而卡諾圖法能克服公式法的不足，可以直觀地給出簡化的結(jié)果。,一.卡諾圖,a. 定義：將邏輯函數(shù)的真值表圖形化，把真值表中的變量分成兩組分別排列在行和列的方格中，就構(gòu)成二維圖表，即為卡諾圖，它是由卡諾（K

49、arnaugh）和范奇（Veich）提出的。,b. 卡諾圖的構(gòu)成：將最小項按相鄰性排列成矩陣，就構(gòu)成卡諾圖實質(zhì)是將邏輯函數(shù)的最小項之和的以圖形的方式表示出來。最小項的相鄰性就是它們中變量只有一個是不同的。,下面表2.6.1 是二變量的卡諾圖,2.6.2 卡諾圖化簡法,,表2.6.2為三變量的卡諾圖,,2.6.2 卡諾圖化簡法,表2.6.3為4變量的卡諾圖,2.6.2 卡諾圖化簡法,從上面卡諾圖可以看出,任意兩個相鄰的最小項在圖上是

50、相鄰的，并且圖中最左列的最小項與左右列相應最小項也是相鄰的（如m0和m2， m9和m10 )。位于最上面和最下面的相應最小項也是相鄰的（ m0和m9 , m2和m10)，所以四變量的最小項有四個相鄰最小項。可以證明n變量的卡諾圖中的最小項有n個相鄰最小項,2.6.2 卡諾圖化簡法,n變量的卡諾圖可有n－1變量的卡諾圖采用折疊法構(gòu)成,如五變量的卡諾圖可由四變量的卡諾圖折疊得到，如表2.6.4,2.6.2 卡諾圖化簡法,二. 邏輯函數(shù)的

51、卡諾圖表示法,如果畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖，首先將邏輯函數(shù)化成標準與或型（最小項和），在相應的最小項位置填“1”，其方法如下,a. 利用真值表：將邏輯函數(shù)的真值表做出，將表中對應“1”項的最小項填到卡諾圖中,2.6.2 卡諾圖化簡法,例2.6.5 畫出下面函數(shù)的卡諾圖,解：其真值表如表2.6.5所示,其卡諾圖如表2.6.6所示,2.6.2 卡諾圖化簡法,b.化為標準與或型,例2.6.6 畫出下面邏輯函數(shù)的卡諾圖,解：,2.6.2

52、卡諾圖化簡法,卡諾圖如表2.6.6,2.6.2 卡諾圖化簡法,(3)觀察法,采用觀察法不需要前兩種方法需要將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最小項，而是采用觀察邏輯函數(shù)，將應為“1”的項填到卡諾圖中,例2.6.7 用卡諾圖表示下面的邏輯函數(shù),解：其卡諾圖如表2.6.7所示,,2.6.2 卡諾圖化簡法,A,,A?,1,1,1,1,1,1,1,1,例2.6.8 畫出下列函數(shù)的卡諾圖,解:Y的卡諾圖如表2.6.8所示,2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1

53、,1,1,1,1,1,1,1,例2.6.9 畫出下列函數(shù)的卡諾圖,解: Y的卡諾圖如表2.6.9所示,2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1,1,1,1,1,1,1,練習：畫出下列函數(shù)的卡諾圖,2.6.2 卡諾圖化簡法,三、利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù),①卡諾圖的性質(zhì),a. 卡諾圖上任何2（21)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去1個取值不同的變量,例如表2.6.10中，有,,消去變量D,2.6.2 卡諾圖化簡法,b.

54、卡諾圖上任何4（22)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去2個取值不同的變量,例如表2.6.11中，有,,消去變量AC,2.6.2 卡諾圖化簡法,2.6.2 卡諾圖化簡法,,,,,c. 卡諾圖上任何8（23)個標“1”的相鄰最小項，可以合并成一項，并消去3個取值不同的變量,例如表2.6.12中，有,,消去變量ABC,2.6.2 卡諾圖化簡法,或者下面的圈“1”法,,,2.6.2 卡諾圖化簡法,②卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為與或

55、式的步驟,a. 將邏輯函數(shù)化為最小項（可略去）；,b. 畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；,c. 找出可以合并的最小項,即1的項（必須是2n個1)，進行圈“1”，圈“1”的規(guī)則為：,2.6.2 卡諾圖化簡法,* 圈內(nèi)的“1”必須是2n個；,* “1”可以重復圈，但每圈一次必須包含沒圈過的“1”；,* 每個圈包含“1”的個數(shù)盡可能多，但必須相鄰，必須為2n 個；,圈“1”的規(guī)則為,2.6.2 卡諾圖化簡法,* 圈數(shù)盡可能的少；,*

56、 要圈完卡諾圖上所有的“1”。,d. 圈好“1”后寫出每個圈的乘積項，然后相加，即為簡化后的邏輯函數(shù)。,注：卡諾圖化簡不是唯一，不同的圈法得到的簡化結(jié)果不同，但實現(xiàn)的邏輯功能相同的。,解：其卡諾圖如表2.6.13所示,圈法如圖，則,,,,例2.6.10 用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù),2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1,1,1,1,或者圈法如表2.6.14所示，則,,,,,故卡諾圖簡化不是唯一的,2.6.2 卡諾圖化簡法,與第一種圈法

57、相比,例2.6.11 用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù),解：其卡諾圖如表2.6.15所示,,,,則簡化后的邏輯函數(shù)為,1,2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,注： 以上是通過合并卡諾圖中的“1”項來簡化邏輯函數(shù)的，有時也通過合并“0”項先求F的反函數(shù)，再求反得Y,例如上面的例題,圈“0”情況如表2.6.15所示，可得,2.6.2 卡諾圖化簡法,例2.6.12 用卡諾圖簡化下面邏輯函數(shù),,,解:卡諾圖如表

58、2.6.16,可得,2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,練習：,③ 利用卡諾圖簡化邏輯函數(shù)為或與式,在卡諾圖上圈“0”的最小項，其規(guī)則與化成與或式相同，但寫最簡或與式時，消去取值不同的變量，保留取值相同的變量。寫相同變量時，取值為“0”寫成原變量，取值為“1”寫成反變量，每個圈寫這些相同變量的和，不同的圈為乘積的關(guān)系。,2.6.2 卡諾圖化簡法,例2.6.13 用卡諾圖將下面邏輯函數(shù)簡化成最簡與或

59、式和或與式,解：其卡諾圖如表2.6.17所示,對于與或式，圈“1”，則,,,,,,注：Y的最簡與或式不是唯一的,2.6.2 卡諾圖化簡法,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,對于與或式，圈“0”，則,,,,,,由表2.6.17的卡諾圖可得,故,2.6.2 卡諾圖化簡法,例2.6.14 試將下面邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式。,解：卡諾圖如表2.6.18所示,,,,圈“1”化成最簡與或式，則可得,2.6

60、.2 卡諾圖化簡法,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,圈“0”化成最簡或與式為,,,,,2.6.2 卡諾圖化簡法,例2.6.15 試將下面邏輯函數(shù)化成最簡與或式和或與式,解：由于最大項對應輸入函數(shù)取值為“0”，如 M6＝A＋B?＋ C? ＋D，當ABCD＝0110時，M6=0，故在相應最大項的位置上填“0”即可得邏輯函數(shù)的卡諾圖。則Y的卡諾圖如表2.6.19所示,,,,,則最簡與或式為,,2.6.2

61、卡諾圖化簡法,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,圈“0”可得最簡的或與式為,,,,,,2.6.2 卡諾圖化簡法,練習：將下列函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式,2.6.2 卡諾圖化簡法,*2.6.3 奎恩－麥克拉斯基化簡法（Q－M法）（自學）,2.7 具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,1.定義：,a.約束項 ：在邏輯函數(shù)中，輸入變量的取值不是任意的，受到限制。對輸

62、入變量取值所加的限制稱為約束，被約束的項叫做約束項。,例如有三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止。若A＝1表示電動機正轉(zhuǎn)，B＝1表示電動機反轉(zhuǎn)，C＝1表示電動機停止，則其ABC的只能是100、010、001，而其它的狀態(tài)如000、011、101、110、111是不能出現(xiàn)的狀態(tài)，故ABC為具有約束的變量，恒為0?？蓪懗?這些恒等于“0”的最小項稱為約束項,b.任意項：輸入變量的某些取值對電路的功能沒影響，這些項稱為任

63、意項 。,例如8421BCD碼取值為0000 ~ 1001十個狀態(tài)，而1010~1111這六個狀態(tài)不可能出現(xiàn)，故對應的函數(shù)取“0”或取“1”對函數(shù)沒有影響，這些項就是任意項項。,c.無關(guān)項：將約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項 。即把這些最小項是否寫入卡諾圖對邏輯函數(shù)無影響,2. 含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的表示方法,最小項的表達式為,其中∑d為無關(guān)項,也可以寫成,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,③化簡時，根據(jù)需要無關(guān)項可以作為“1

64、”也可作“0”處理，以得到相鄰最小項矩形組合最大（包含“1”的個數(shù)最多）為原則。,3. 無關(guān)項在化簡邏輯函數(shù)中的應用,利用無關(guān)項可以使得函數(shù)進一步簡化,步驟：,① 將給定的邏輯函數(shù)的卡諾圖畫出來;,②將無關(guān)項中的最小項在卡諾圖相應位置用“× ”表示出來；,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,例2.6.1 用卡諾圖簡化下列邏輯函數(shù)，并寫成最簡與或式和或與式,解：Y的卡諾圖如表2.6.1所示,,,,,,則最簡與或式為

65、,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,1,1,1,1,1,1,×,×,×,×,×,×,×,×,還有另一種圈法，如圖2.6.2所示,,,,簡化后的邏輯函數(shù)為,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,此種圈法圈數(shù)少，變量少，比上一種簡單,寫成或與式為,,,,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,例1.4.13 試簡化下列邏輯函

66、數(shù)，寫最簡成與或式和或與式,解：約束條件為,則Y的卡諾圖如表2.6.4所示,,,,最簡與或式為,（即AB取值不能相同）,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,1,1,1,1,1,×,×,×,×,×,×,×,×,圈“0”,則最簡或與式為,,,2.7.1 約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,練習：將下列函數(shù)簡化成最簡與或式和或與式,2.7.1 約束

67、項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項,*2.7 卡諾圖的其它應用,卡諾圖除了簡化邏輯函數(shù)，還可以有下面的一些應用,2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算,1 判明函數(shù)關(guān)系,利用卡諾圖可以判明函數(shù)是否相等、互補。若兩個函數(shù)的卡諾圖相同，則這兩個函數(shù)一定相等。即若函數(shù)Y和G的卡諾圖相同，則Y＝G。若兩個函數(shù)的卡諾圖中“0”和“1”對調(diào)，則這兩個函數(shù)為互補。,例如,它們的卡諾圖如表2.7.1所示，則Y＝G,2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運

68、算,再例如,它們的卡諾圖如表2.7.2和2.7.3所示,則,2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算,2.函數(shù)運算,若已知函數(shù)Y1和Y2，則可利用卡諾圖做邏輯運算。,例2.7.1若Y1＝A?B＋AC ? ，Y2＝A＋BC 試利用卡諾圖求Y1＋Y2 、Y1＋Y2及Y1⊙Y2,解： Y1和Y2的卡諾圖如表2.7.4及2.7.5所示,2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算,則兩個函數(shù)的與為,=,2.7.1.判明函數(shù)關(guān)系和進行函數(shù)的運算,.,