數(shù)學(xué)建模賽題分析實(shí)踐方法與算法

1、第2講 數(shù)學(xué)建模賽題分析、實(shí)踐方法與算法,數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 李鑫,2024/3/21,2,數(shù)學(xué)建模的賽題分析與實(shí)踐方法,1. CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,3. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,4. 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,3,數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的規(guī)模越來(lái)越大,水平越來(lái)越高；　競(jìng)賽的水平主要體現(xiàn)在賽題水平；　賽題的水平主要體現(xiàn)：（１）綜合性、實(shí)用性、創(chuàng)新性、即時(shí)性等；（２）多種解題方法的創(chuàng)造

2、性、靈活性、開(kāi)放性等；（３）海量數(shù)據(jù)的復(fù)雜性、數(shù)學(xué)模型的多樣性、求解結(jié)果的不唯一性等。 縱覽20年的本科組40個(gè)題目(專(zhuān)科組21個(gè))，從問(wèn)題的實(shí)際意義、解決問(wèn)題的方法和題型三個(gè)方面作一些簡(jiǎn)單的分析。,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,4,1. CUMCM 的歷年賽題及解法,1993年:(Ａ)通訊中非線(xiàn)性交調(diào)的頻率設(shè)計(jì)問(wèn)題(擬合、規(guī)劃 ) (Ｂ)足球甲級(jí)聯(lián)賽排名問(wèn)題(圖論、層次分析、整數(shù)規(guī)劃 )1

3、994年:(Ａ)山區(qū)修建公路的設(shè)計(jì)造價(jià)問(wèn)題(圖論、插值、動(dòng)態(tài)規(guī)劃) (Ｂ)鎖具的制造、銷(xiāo)售和裝箱問(wèn)題(圖論、組合數(shù)學(xué) )1995年:(Ａ)飛機(jī)的安全飛行管理調(diào)度問(wèn)題(非線(xiàn)性規(guī)劃、線(xiàn)性規(guī)劃) (Ｂ)天車(chē)與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度問(wèn)題(動(dòng)態(tài)規(guī)劃、排隊(duì)論、圖論 )1996年:(A)最優(yōu)捕魚(yú)策略問(wèn)題(微分方程、優(yōu)化) (B)節(jié)水洗衣機(jī)的程序設(shè)計(jì)問(wèn)題(非線(xiàn)性規(guī)劃)1997年:(A)零件參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題(非線(xiàn)

4、性規(guī)劃) (B)金剛石截?cái)嗲懈顔?wèn)題(隨機(jī)模擬、圖論),一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,5,1. CUMCM 的歷年賽題及解法,1998年:(A)投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問(wèn)題（多目標(biāo)優(yōu)化、非線(xiàn)性規(guī)劃 ） (B)災(zāi)情的巡視路線(xiàn)問(wèn)題（圖論、組合優(yōu)化  ）1999年:(A)自動(dòng)化機(jī)床控制管理問(wèn)題（隨機(jī)優(yōu)化、計(jì)算機(jī)模擬 ） (B)地質(zhì)堪探鉆井布局問(wèn)題（0-1規(guī)劃、圖論  ）

5、2000年:(A)DNA序列的分類(lèi)問(wèn)題(模式識(shí)別、Fisher判別、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)) (B)鋼管的訂購(gòu)和運(yùn)輸問(wèn)題（組合優(yōu)化、運(yùn)輸問(wèn)題）2001年:(A)三維血管的重建問(wèn)題（曲線(xiàn)擬合、曲面重建 ） (B)公交車(chē)的優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題（多目標(biāo)規(guī)劃 ）2002年:(A)汽車(chē)車(chē)燈的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題（非線(xiàn)性規(guī)劃） (B)彩票中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（單目標(biāo)決策 ）,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,6,1.

6、 CUMCM 的歷年賽題及解法,2003年:(A)SARS的傳播問(wèn)題（微分方程、差分方程 ） (B)露天礦生產(chǎn)的車(chē)輛安排問(wèn)題（整數(shù)規(guī)劃、運(yùn)輸問(wèn)題 ）2004年:(A)奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題(統(tǒng)計(jì)分析、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化) (B)電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理問(wèn)題(數(shù)據(jù)擬合、優(yōu)化 ）2005年:(A)長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)與預(yù)測(cè)問(wèn)題（ 預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)、數(shù)據(jù)處理 ） (B)DVD在線(xiàn)租賃問(wèn)題（ 隨機(jī)規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃&#

7、160; ）2006年:(A)出版社的資源管理問(wèn)題（整數(shù)規(guī)劃、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化 ） (B)艾滋病療法的評(píng)價(jià)及預(yù)測(cè)問(wèn)題（線(xiàn)性規(guī)劃、回歸分析）2007年:(A)中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問(wèn)題（微分方程、數(shù)據(jù)處理、優(yōu)化 ） (B)“乘公交，看奧運(yùn)”問(wèn)題(多目標(biāo)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖論、0-1規(guī)劃),一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,7,2008年:(A)照相機(jī)問(wèn)題 （非線(xiàn)性方程組、優(yōu)化 ）

8、 (B)大學(xué)學(xué)費(fèi)問(wèn)題 （數(shù)據(jù)收集和處理、統(tǒng)計(jì)分析、回歸分析 ）2009年:(A)制動(dòng)器試驗(yàn)臺(tái)的控制方法分析 （物理原理建模、數(shù)值積分、 物理模擬、誤差分析（微分方程、模擬） ） (B)眼科病床的合理安排 （統(tǒng)計(jì)分析、排隊(duì)論、仿真、隨機(jī)優(yōu)化、 模糊綜合評(píng)價(jià) ）2010年:(A)儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定 (數(shù)

9、據(jù)分析、非線(xiàn)性?xún)?yōu)化、 微積分) (B)2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估(信息收集、開(kāi)放性)2011年:(A)城市表層土壤重金屬污染分析 (散亂插值擬合、聚類(lèi)分析、 主成分分析、偏微分方程) (B)交巡警服務(wù)平臺(tái)的設(shè)置與調(diào)度 (最短路算法、多目標(biāo)優(yōu)化、 0

10、-1規(guī)劃、啟發(fā)式算法),一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,8,2、從問(wèn)題的解決方法上分析,涉及到的數(shù)學(xué)建模方法： 幾何理論、組合概率、統(tǒng)計(jì)（回歸）分析、優(yōu)化方法(規(guī)劃)、圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、層次分析、插值與擬合、差分計(jì)算、微分方程、排隊(duì)論、模糊數(shù)學(xué)、隨機(jī)決策、多目標(biāo)決策、隨機(jī)模擬、灰色系統(tǒng)理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、時(shí)間序列、綜合評(píng)價(jià)、機(jī)理分析等方法。,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,9,3、從問(wèn)題的題

11、型上分析,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,賽題題型結(jié)構(gòu)形式有三個(gè)基本組成部分：（1）實(shí)際問(wèn)題背景 涉及面寬--有社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，管理，生活，環(huán)境，自然現(xiàn)象，工程技術(shù)，現(xiàn)代科學(xué)中出現(xiàn)的新問(wèn)題等。 一般都有一個(gè)比較確切的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。 （2）若干假設(shè)條件 有如下幾種情況： a. 只有過(guò)程、規(guī)則等定性假設(shè)，無(wú)具體定量數(shù)據(jù)； b. 給出若干實(shí)測(cè)或統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)； c. 給出若干參數(shù)或圖形； d. 蘊(yùn)涵著某些機(jī)動(dòng)、可發(fā)揮的

12、補(bǔ)充假設(shè)條件，或參賽者可以根據(jù)自己收集或模擬產(chǎn)生數(shù)據(jù)。（3）要求回答的問(wèn)題 往往有幾個(gè)問(wèn)題（一般不是唯一的答案）: a. 比較確定性的答案（基本答案）；b. 更細(xì)致或更高層次的討論結(jié)果（往往是討論最優(yōu)方案的提法和結(jié)果）。,2024/3/21,10,3、從問(wèn)題的題型上分析,(1)“即時(shí)性”較強(qiáng)的問(wèn)題(2)理論性較強(qiáng)的問(wèn)題(3)實(shí)用性較強(qiáng)的問(wèn)題(4)算法要求強(qiáng)的問(wèn)題(5)數(shù)據(jù)量大的問(wèn)題,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2

13、024/3/21,11,4、近幾年題目的特點(diǎn),(1)綜合性：一題多解，方法融合，結(jié)果多樣，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　學(xué)科交叉。(2)開(kāi)放性：題意的開(kāi)放性，思路的開(kāi)放性，方法的開(kāi)放性，結(jié)果的開(kāi)放性。(3)實(shí)用性：?jiǎn)栴}和數(shù)據(jù)來(lái)自于實(shí)際，解決方法切合于

14、實(shí)際，模型和結(jié)果可以應(yīng)用于實(shí)際。(4)即時(shí)性：國(guó)內(nèi)外的大事，社會(huì)的熱點(diǎn)，生活的焦點(diǎn)，近期發(fā)生和即將發(fā)生被關(guān)注的問(wèn)題。(5)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性：數(shù)據(jù)的真實(shí)性，數(shù)據(jù)的海量性，數(shù)據(jù)的不完備性，數(shù)據(jù)的冗余性。,一、CUMCM歷年賽題的簡(jiǎn)析,2024/3/21,12,常用數(shù)學(xué)模型有哪些？常用數(shù)學(xué)建模方法有哪些？參加數(shù)學(xué)建模需要具備哪些知識(shí)和能力？,二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,2024/3/21,13,優(yōu)化模型微分方程模型統(tǒng)計(jì)模型概率模

15、型圖論模型決策模型,1、數(shù)學(xué)模型分類(lèi),二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,2024/3/21,14,類(lèi)比法量綱分析法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線(xiàn)性規(guī)劃，非線(xiàn)性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）,2、數(shù)學(xué)建模常用的方法,二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,2024/3/21,15,機(jī)理分析法排隊(duì)方法對(duì)策方法決策方法模糊評(píng)判方法時(shí)間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算

16、法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）,二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,2、數(shù)學(xué)建模常用的方法,2024/3/21,16,3.數(shù)學(xué)建模所需要的知識(shí)和方法,數(shù)學(xué)建模應(yīng)具備的數(shù)學(xué)知識(shí)： 高等數(shù)學(xué)、微分方程、運(yùn)籌學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值計(jì)算等。,二、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的實(shí)踐方法,另外還需要了解排隊(duì)論、對(duì)策論、決策論、模糊數(shù)學(xué)、時(shí)間序列、灰色理論等相關(guān)知識(shí)。,2024/3/21,17,問(wèn)題—給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)（輸入變量與輸出變量的數(shù)據(jù)），確定滿(mǎn)足特定要求的曲線(xiàn)

17、或曲面。插值問(wèn)題—要求所求曲線(xiàn)（面）通過(guò)所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。數(shù)據(jù)擬合—不要求曲線(xiàn)（面）通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢(shì)。,1、插值與擬合方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,18,一元函數(shù)擬合多項(xiàng)式擬合非線(xiàn)性函數(shù)擬合多元函數(shù)擬合（回歸分析）函數(shù)的確定MATLAB實(shí)現(xiàn),（1）數(shù)據(jù)擬合,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,19,一維插值的定義—已知n個(gè)節(jié)點(diǎn)，求任意點(diǎn)處的函數(shù)值。分段

18、線(xiàn)性插值多項(xiàng)式插值 樣條插值 y=interp1(x0,y0,x,'method')二維插值—節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds) 二維插值—節(jié)點(diǎn)為散點(diǎn)z1=griddata(x,y,z,x1,y1) 散亂數(shù)據(jù)差值（一般需專(zhuān)用的數(shù)據(jù)處理軟件）,（2）插值方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

19、常用方法解析,2024/3/21,20,（1）優(yōu)化模型四要素決策變量目標(biāo)函數(shù)（盡量簡(jiǎn)單、光滑）約束條件（建模的關(guān)鍵）求解方法 （MATLAB,LINDO）,2、優(yōu)化方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,21,線(xiàn)性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線(xiàn)性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題）非線(xiàn)性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)或者約束條件是非線(xiàn)性的函數(shù)）整數(shù)規(guī)劃（決策變量是整數(shù)值的規(guī)劃問(wèn)題）多目標(biāo)規(guī)劃（具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題）目標(biāo)規(guī)劃（具

20、有不同優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)和偏差的規(guī)劃問(wèn)題）動(dòng)態(tài)規(guī)劃（求解多階段決策問(wèn)題的最優(yōu)化方法）,（2）優(yōu)化模型分類(lèi),三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,22,無(wú)約束規(guī)劃fminsearchfminbnd線(xiàn)性規(guī)劃linprog非線(xiàn)性規(guī)劃fmincon多目標(biāo)規(guī)劃（計(jì)算有效解）目標(biāo)加權(quán)、效用函數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃（倒向、正向）整數(shù)規(guī)劃（分支定界法、枚舉法、LINDO）,（3）優(yōu)化模型求解,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3

21、/21,23,回歸分析—對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象，根據(jù)其關(guān)系形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，用來(lái)近似地表示變量間的平均變化關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法 （一元線(xiàn)性回歸、多元線(xiàn)性回歸、非線(xiàn)性回歸）回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個(gè)問(wèn)題：建立因變量與自變量之間的回歸模型（經(jīng)驗(yàn)公式）對(duì)回歸模型的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)判斷每個(gè)自變量對(duì)因變量的影響是否顯著判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)利用回歸模型對(duì)進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制[b, bint,r,rint,stats

22、]=regress(Y,X,alpha) （線(xiàn)性回歸）rstool（x，y，’model’, alpha）（多元二項(xiàng)式回歸）[beta,r,J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）（非線(xiàn)性回歸）,3、統(tǒng)計(jì)方法,（1）回歸分析,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,24,逐步回歸分析—從一個(gè)自變量開(kāi)始，視自變量作用的顯著程度，從大到小依次逐個(gè)引入回歸方程當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)

23、，要將其剔除掉引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步對(duì)于每一步都要進(jìn)行值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)作用顯著的變量這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直至既無(wú)不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無(wú)顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止stepwise(x,y,inmodel,alpha)SPSS,SAS,（2）逐步回歸分析,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,25,聚類(lèi)分析—所研究的樣本或者變量之

24、間存在程度不同的相似性，要求設(shè)法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計(jì)量作為分類(lèi)的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進(jìn)行分類(lèi)系統(tǒng)聚類(lèi)分析—將n個(gè)樣本或者n個(gè)指標(biāo)看成n類(lèi)，一類(lèi)包括一個(gè)樣本或者指標(biāo)，然后將性質(zhì)最接近的兩類(lèi)合并成為一個(gè)新類(lèi)，依此類(lèi)推。最終可以按照需要來(lái)決定分多少類(lèi)，每類(lèi)有多少樣本（指標(biāo)）,（3）聚類(lèi)分析,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,26,系統(tǒng)聚類(lèi)方法步驟：計(jì)算n個(gè)樣本兩兩之間的距離構(gòu)成n個(gè)類(lèi)，每類(lèi)只

25、包含一個(gè)樣品合并距離最近的兩類(lèi)為一個(gè)新類(lèi)計(jì)算新類(lèi)與當(dāng)前各類(lèi)的距離（新類(lèi)與當(dāng)前類(lèi)的距離等于當(dāng)前類(lèi)與組合類(lèi)中包含的類(lèi)的距離最小值），若類(lèi)的個(gè)數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)3畫(huà)聚類(lèi)圖決定類(lèi)的個(gè)數(shù)和類(lèi)。,（3）聚類(lèi)分析,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,27,判別分析—在已知研究對(duì)象分成若干類(lèi)型，并已取得各種類(lèi)型的一批已知樣品的觀測(cè)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上根據(jù)某些準(zhǔn)則建立判別式，然后對(duì)未知類(lèi)型的樣品進(jìn)行判別分類(lèi)。距離判別法—首先根據(jù)已

26、知分類(lèi)的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算各類(lèi)的重心，計(jì)算新個(gè)體到每類(lèi)的距離，確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）Fisher判別法—利用已知類(lèi)別個(gè)體的指標(biāo)構(gòu)造判別式（同類(lèi)差別較小、不同類(lèi)差別較大），按照判別式的值判斷新個(gè)體的類(lèi)別Bayes判別法—計(jì)算新給樣品屬于各總體的條件概率，比較概率的大小，然后將新樣品判歸為來(lái)自概率最大的總體,（4）判別分析,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,28,模糊數(shù)學(xué)—研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué) （概念與其

27、對(duì)立面之間沒(méi)有一條明確的分界線(xiàn)）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題（一）模糊分類(lèi)問(wèn)題—已知若干個(gè)相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個(gè)確定事物用哪一個(gè)模糊概念來(lái)反映更合理準(zhǔn)確模糊相似選擇 —按某種性質(zhì)對(duì)一組事物或?qū)ο笈判蚴且活?lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，但是用來(lái)比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性,4、模糊數(shù)學(xué)方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,29,模糊聚類(lèi)分析—根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來(lái)確定其分類(lèi)關(guān)系

28、模糊層次分析法—兩兩比較指標(biāo)的確定模糊綜合評(píng)判—綜合評(píng)判就是對(duì)受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€(gè)總的評(píng)價(jià)，如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等，都屬于綜合評(píng)判問(wèn)題。由于從多方面對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果,4、模糊數(shù)學(xué)方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,30,時(shí)間序列是按時(shí)間順序排列的、隨時(shí)間變化且相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序

29、列—通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)目標(biāo)自身時(shí)間序列的處理，來(lái)研究其變化趨勢(shì)（長(zhǎng)期趨勢(shì)變動(dòng)、季節(jié)變動(dòng)、循環(huán)變動(dòng)、不規(guī)則變動(dòng)） 自回歸模型一般自回歸模型AR(n)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t)僅與其以前時(shí)刻的響應(yīng)X(t-1),…， X(t-n)有關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)無(wú)關(guān) 移動(dòng)平均模型MA(m)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t) ，與其以前任何時(shí)刻的響應(yīng)無(wú)關(guān)，而與其以前時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)a(t-1),…,a(t-m)存在著一定的相關(guān)關(guān)系 自回歸移動(dòng)平

30、均模型 ARMA(n,m)—系統(tǒng)在時(shí)刻t的響應(yīng)X(t)，不僅與其前n個(gè)時(shí)刻的自身值有關(guān)，而且還與其前m個(gè)時(shí)刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)存在一定的依存關(guān)系,5、時(shí)間序列分析方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,31,數(shù)據(jù)的預(yù)處理：數(shù)據(jù)的剔取及提取趨勢(shì)項(xiàng)取n=1，擬合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型n=n+1，擬合ARMA(2n,2n-1)模型用F準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m用性。若檢驗(yàn)顯著，則轉(zhuǎn)入第2步。若檢驗(yàn)不顯著

31、，轉(zhuǎn)入第5步。檢查遠(yuǎn)端時(shí)刻的系數(shù)值的值是否很小，其置信區(qū)間是否包含零。若不是，則適用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。若很小，且其置信區(qū)間包含零，則擬合ARMA(2n-1,2n-2) 。,5、時(shí)間序列分析方法,時(shí)間序列建模的基本步驟：,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,32,利用F準(zhǔn)則檢驗(yàn)?zāi)Ｐ虯RMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2) ，若F值不顯著，轉(zhuǎn)入第7步；若F值顯著，轉(zhuǎn)入第8步。舍棄小的

32、MA參數(shù)，擬合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ，并用F準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這一過(guò)程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止舍棄小的MA參數(shù)，擬合m<2n-1的模型ARMA(2n,m) ，并用F準(zhǔn)則進(jìn)行檢驗(yàn)。重復(fù)這一過(guò)程，直到得出具有最小參數(shù)的適用模型為止。,時(shí)間序列建模的基本步驟：,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,33,最短路問(wèn)題兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑—給出了一個(gè)連接若干個(gè)城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò)，在這

33、個(gè)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線(xiàn) （Dijkstra算法 ）每對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑 （Dijkstra算法、Floyd算法 ）最小生成樹(shù)問(wèn)題連線(xiàn)問(wèn)題—欲修筑連接多個(gè)城市的鐵路設(shè)計(jì)一個(gè)線(xiàn)路圖，使總造價(jià)最低（prim算法、Kruskal算法 ）圖的匹配問(wèn)題人員分派問(wèn)題：n個(gè)工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問(wèn)能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法),6、圖論方法,三、數(shù)

34、學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,34,遍歷性問(wèn)題中國(guó)郵遞員問(wèn)題—郵遞員發(fā)送郵件時(shí)，要從郵局出發(fā)，經(jīng)過(guò)他投遞范圍內(nèi)的每條街道至少一次，然后返回郵局，但郵遞員希望選擇一條行程最短的路線(xiàn)最大流問(wèn)題運(yùn)輸問(wèn)題最小費(fèi)用最大流問(wèn)題在運(yùn)輸問(wèn)題中，人們總是希望在完成運(yùn)輸任務(wù)的同時(shí)，尋求一個(gè)使總的運(yùn)輸費(fèi)用最小的運(yùn)輸方案,6、圖論方法,三、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽常用方法解析,2024/3/21,35,（1）蒙特卡羅算法 大多數(shù)建模賽題

35、中都離不開(kāi)計(jì)算機(jī)仿真，隨機(jī)性模擬是非常常見(jiàn)的算法之一。 舉個(gè)例子就是97 年的A 題，每個(gè)零件都有自己的標(biāo)定值，也都有自己的容差等級(jí)，而求解最優(yōu)的組合方案將要面對(duì)著的是一個(gè)極其復(fù)雜的公式和108 種容差選取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最優(yōu)的方案呢？隨機(jī)性模擬搜索最優(yōu)方案就是其中的一種方法，在每個(gè)零件可行的區(qū)間中按照正態(tài)分布隨機(jī)的選取一個(gè)標(biāo)定值和選取一個(gè)容差值作為一種方案，然后通過(guò)蒙特卡羅算法仿真出大量的方案，從中

36、選取一個(gè)最佳的。另一個(gè)例子就是2002年的彩票第二問(wèn)，要求設(shè)計(jì)一種更好的方案，首先方案的優(yōu)劣取決于很多復(fù)雜的因素，同樣不可能刻畫(huà)出一個(gè)模型進(jìn)行求解，只能靠隨機(jī)仿真模擬。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,36,（2）數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法 比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用Matlab作為工具 數(shù)據(jù)擬合在很多賽題中有應(yīng)用，與

37、圖形處理有關(guān)的問(wèn)題很多與擬合有關(guān)系，一個(gè)例子就是98 年美國(guó)賽A 題，生物組織切片的三維插值處理，94 年A 題逢山開(kāi)路，山體海拔高度的插值計(jì)算，還有吵的沸沸揚(yáng)揚(yáng)可能會(huì)考的“非典”問(wèn)題也要用到數(shù)據(jù)擬合算法，觀察數(shù)據(jù)的走向進(jìn)行處理。此類(lèi)問(wèn)題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法都能游刃有余的用好。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,37,（3）線(xiàn)性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類(lèi)問(wèn)

38、題 建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用Lindo、Lingo軟件實(shí)現(xiàn) 競(jìng)賽中很多問(wèn)題都和數(shù)學(xué)規(guī)劃有關(guān)，可以說(shuō)不少的模型都可以歸結(jié)為一組不等式作為約束條件、幾個(gè)函數(shù)表達(dá)式作為目標(biāo)函數(shù)的問(wèn)題，遇到這類(lèi)問(wèn)題，求解就是關(guān)鍵了，比如98年B 題，用很多不等式完全可以把問(wèn)題刻畫(huà)清楚，因此列舉出規(guī)劃后用Lindo、Lingo 等軟件來(lái)進(jìn)行解決比較方便，所以還需要熟

39、悉這兩個(gè)軟件。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,38,（4）圖論算法 這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備 98 年B 題、00 年B 題、95 年鎖具裝箱等問(wèn)題體現(xiàn)了圖論問(wèn)題的重要性，這類(lèi)問(wèn)題算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等問(wèn)題。每一個(gè)算法

40、都應(yīng)實(shí)現(xiàn)一遍，否則到比賽時(shí)再寫(xiě)就晚了。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,39,（5）動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法 這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到競(jìng)賽中。 比如92 年B 題用分枝定界法，97 年B 題是典型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，此外98 年B 題體現(xiàn)了分治算法。這方面問(wèn)題和ACM 程序設(shè)計(jì)競(jìng)賽中的問(wèn)題類(lèi)似，推薦看一下《計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析》（電子工業(yè)出版社）等

41、與計(jì)算機(jī)算法有關(guān)的書(shū)。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,40,（6）最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法 這些問(wèn)題是用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需慎重使用。 比如：97 年A 題的模擬退火算法，00 年B 題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類(lèi)算法，象01 年B 題這種難題也可以使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，還有美國(guó)競(jìng)賽89 年A 題也和BP 算法有關(guān)系，

42、當(dāng)時(shí)是86 年剛提出BP 算法，89 年就考了，說(shuō)明賽題可能是當(dāng)今前沿科技的抽象體現(xiàn)。03 年B 題伽馬刀問(wèn)題也是目前研究的課題，目前算法最佳的是遺傳算法。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,41,（7）數(shù)值分析算法 如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話(huà)，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫(kù)函數(shù)進(jìn)行調(diào)用 這類(lèi)算法是針對(duì)高級(jí)語(yǔ)言而專(zhuān)門(mén)設(shè)的，如果你用

43、的是MATLAB、Mathematica，大可不必準(zhǔn)備，因?yàn)橄髷?shù)值分析中有很多函數(shù)一般的數(shù)學(xué)軟件是具備的。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,42,（8）一些連續(xù)離散化方法 很多問(wèn)題都是實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)的是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后運(yùn)用差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的 大部分物理問(wèn)題的編程解決，都和這種方法有一定的聯(lián)系。物理問(wèn)題是反映我們生活在一個(gè)連續(xù)的世

44、界中，計(jì)算機(jī)只能處理離散的量，所以需要對(duì)連續(xù)量進(jìn)行離散處理。這種方法應(yīng)用很廣，而且和上面的很多算法有關(guān)。事實(shí)上，網(wǎng)格算法、蒙特卡羅算法、模擬退火都用了這個(gè)思想。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,43,（9）網(wǎng)格算法和窮舉法 網(wǎng)格算法和窮舉法都是暴力搜索最優(yōu)點(diǎn)的算法，在很多競(jìng)賽題中有應(yīng)用，當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而輕視算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具 網(wǎng)格算法和窮舉

45、法一樣，只是網(wǎng)格法是連續(xù)問(wèn)題的窮舉。比如要求在N 個(gè)變量情況下的最優(yōu)化問(wèn)題，那么對(duì)這些變量可取的空間進(jìn)行采點(diǎn)。 比如97 年A 題、99 年B 題都可以用網(wǎng)格法搜索，這種方法最好在運(yùn)算速度較快的計(jì)算機(jī)中進(jìn)行，還有要用高級(jí)語(yǔ)言來(lái)做，最好不要用MATLAB 做網(wǎng)格，否則會(huì)算很久的。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,44,（10）圖象處理算法 賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應(yīng)該

46、要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題，通常使用Matlab進(jìn)行處理 01年A 題中需要你會(huì)讀BMP 圖象、美國(guó)賽98 年A 題需要你知道三維插值計(jì)算，03 年B 題要求更高，不但需要編程計(jì)算還要進(jìn)行處理，而數(shù)模論文中也有很多圖片需要展示，因此圖象處理就是關(guān)鍵。做好這類(lèi)問(wèn)題，重要的是把MATLAB 學(xué)好，特別是圖象處理的部分。,四、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽10種常用算法,2024/3/21,45,平等地位、相互尊重、

47、充分交流杜絕武斷評(píng)價(jià)不要回避責(zé)任不要對(duì)交流失去信心,競(jìng)賽中的群體思維方法,2024/3/21,46,借助于一系列問(wèn)題來(lái)展開(kāi)思路這個(gè)問(wèn)題與什么問(wèn)題相似？如果將問(wèn)題分解成兩個(gè)或幾個(gè)部分會(huì)怎樣？極限情形（或理想狀態(tài)）如何？綜合問(wèn)題的條件可得到什么結(jié)果？要實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的目標(biāo)需要什么條件？借助于下意識(shí)的聯(lián)想（靈感）來(lái)展開(kāi)思路抓住問(wèn)題的個(gè)別條件或關(guān)鍵詞展開(kāi)聯(lián)想或猜想綜合所得到的聯(lián)想和猜想，得到一些結(jié)論進(jìn)一步思考找出新思路和方法,