數學論文之極限

1、論述主題：高等數學中的極限思想學院：計算機與通信工程學院班級：計算機科學與技術1301論述者：楊凌鋒參考文獻：《百度文庫》，《高等數學第三版》，《同濟大學數學系論極限》高等數學中的極限思想高等數學中的極限思想在沒接觸高等數學之前，我所認知的數學解題方法大致可以分為三類：1.代數計算（對數據進行分析進行代數運算）；2.幾何作圖（通過對圖像的分析研究問題）；3.從特殊到一般的特殊化方法（如數學歸納法）。但是進入大學，學了高數之后，我有知道了

2、一種數學中極為常用的思想方法——極限思想。在我看來，極限思想貫穿了整個高等數學，它不僅是數學分析的重要概念之一，有是微積分理論的基礎，因而想要學好高等數學，首要的是掌握極限思想。對此，我對極限思想的作用和極限的一些基本解法做了一些了解和總結。（一）極限思想的作用世界本是由數字組成的，數學的進步就是世界的進步，這也許就是數學的魅力，不獨立于其他事物，作為研究其他學科的工具。于是，也許你單是考慮極限并沒有多大價值，但是它與其他知識結合起來就

3、可以體現出巨大的力量。極限思想在現代數學乃至物理學等學科中有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統一關系，是唯物辯證法的對立統一規(guī)律在數學領域中的應用。借助極限思想，人們可以從有限認識無限，從“不變”認識“變”，從直線形認識曲線形，從近似認識精確。無限與有限有本質的不同，但二者又有聯系，無限是有限的發(fā)展。無限個數的和不是一般的代數和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想

4、方法，從有限來認識無限的?！白儭迸c“不變”反映了事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態(tài)，但它們在一定條件下又可相互轉化，這種轉化是“數學科學的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運動的瞬時速度，用初等方法是無法解決的，困難在于速度是變量。為此，人們先在小范圍內用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時速度定義為平均速度的極限，就是借助于極限的思想方法，從“不變”來認識“變”的。曲線形與直線形有著本質的差異，但在一定條件下也可相互轉化，正如恩格斯所

5、說：“直線和曲線在微分中終于等同起來了”。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問題用初等的方法是不能解決的。劉徽用圓內接多邊形逼近圓，一般地，人們用小矩形的面積來逼近曲邊梯形的面積，都是借助于極限的思想方法，從直線形來認識曲線形的（以直代曲思想）。量變和質變既有區(qū)別又有聯系，兩者之間有著辯證的關系。對任何一個圓內接正多邊形來說，當它邊數加倍后，得到的還是內接正多邊形，是量變而不是質變；但是，不斷地讓邊數加倍，經過無限過程之后，多邊形就“

6、變”成圓，多邊形面積便轉化為圓面積。（二）高等數學中有關極限的求法總結一直接代入法極限連續(xù)函數有定義，若函數在點連續(xù)，則有；也就是說，()fx0xx?00lim()()xxfXfx??假如函數在處是連續(xù)的，那么在時，函數的極限為。所以通常情況下0xx?0xx?0()fx只需把x的值直接帶入表達式就可以了，如果結果有意義，則那就是極限值。五利用無窮小的性質求極限：（1）有限個無窮小的和為無窮?。?）有界函數與無窮小的乘積是無窮小。例1：求

7、；0limsintanxxxx???解：時，所以由無窮小的性質可知，極限的值為無0x?0sin0tan0xxx???，窮小。例2：求；32sin!lim1nnnn???解：可知所以是有界函數與無窮小的乘積的類型，32231sin!1limlim011nnnnnn?????????極限值為0.六利用重要極限這兩個重要極限在求極限的解題過程中起著十分重要的作10sinlim1lim(1)xxoxxxex?????用，而且將x代換成就可以解決

8、一類問題。()ux例1：求；??1sin1lim1xxx???解，由重要極限可知，原式=1；110xx???例2：求：24lim1xxx?????????解：。4284lim84=lim1xxxxxxxeex?????????????原式注：如果遇到（類型）的求極限時可用()lim()lim()1lim()vxxxxuxuxvx??????AAA其中1?以下這個下公式，證明過程要用到恒等變形，比較簡單，??()1()()lim()lim