橢圓及其標準方程課件一張

1、,橢圓及其標準方程,思考1：取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在黑板的同一點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是?,圓,思考2：如把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在黑板的兩點處，套上筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？,問題,筆尖滑動畫橢圓的過程中（1）筆尖與兩定點距離和有無變化？（2）當兩定點固定，對繩長有無要求?,1、橢圓的定義：,平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|

2、）的點的軌跡叫做橢圓。,這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距。,,注意：,1、M是橢圓上任意一點，且|MF1| + |MF2| = 常數(shù)；,這個常數(shù)記為2a，焦距記為2c，且2a>2c（？）；,2、如果2a = 2c，則M點的軌跡是線段F1F2.,3、如果2a < 2c，則M點的軌跡不存在.（由三角形的性質(zhì)知）,,,,O,X,Y,,,F1,F2,,,,M,如圖所示： F1、F2為兩定點，且|F1F2|=2c

3、，求平面內(nèi)到兩定點F1、F2距離之和為定值2a（2a>2c)的動點M的軌跡方程。,解：以F1F2所在直線為X軸， F1F2 的中點為原點建立平面直角坐標系，則焦點F1、F2的坐標分別為(-c,0)、 (c,0)。,(-c,0),(c,0),(x,y),設M（x,y)為所求軌跡上的任意一點，,則:|MF1|+ |MF2|=2a,,,,O,X,Y,,,F1,F2,,,M,(-c,0),(c,0),(x,y),兩邊平方得：a4-2a2c

4、x+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因為2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得：,,b2x2+a2y2=a2b2,兩邊同時除以a2b2得：,(a>b>0),這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在x 軸上。,,,,O,X,Y,,,F1,F2,,,,M,(-c,0),(c

5、,0),,,O,X,Y,F1,F2,M,(0,-c),(0 , c),,,,,,橢圓的標準方程的再認識：,（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1,（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。,（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。,（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在 哪一條軸上。,橢圓的標準方程,,定 義,圖 形,方 程,焦 點,F

6、(±c，0),F(0，±c),a,b,c之間的關(guān)系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a,小 結(jié)：,,,,,,,,,判定下列橢圓的焦點在 哪個軸上，并指明a2、b2，寫出焦點坐標。,答：在 X 軸。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 軸。（0，-5）和（0，5）,答：在y 軸。（0，-1）和（0，1）,判斷橢圓標準方程的焦點在哪個軸上的準則： 焦點在分母大的那個軸上。,應用舉例

7、,應用舉例,,,a>3,0<b<9,,例1、填空：(1)已知橢圓的方程為： ，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：____________焦距等于______;若CD為過左焦點F1的弦，則 F2CD的周長為________,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,20,,,,F1,F2,,,,C,D,,例題講解,(2)已知橢圓的

8、方程為： ，則a=_____，b=_______，c=_______，焦點坐標為：___________焦距等于__________;曲線上一點P到左焦點F1的距離為3，則點P到另一個焦點F2的距離等于_________，則 F1PF2的周長為___________,2,1,(0,-1)、(0,1),2,例2、求滿足下列條件的橢圓的標準方程：（1）滿足a=4,b=1，焦點在X軸

9、上的橢圓的標準方程為____________,（2）滿足a=4,c= ，焦點在Y軸上的橢圓的標準方程為____________,例3 求適合下列條件的橢圓的標準方程：,（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10；,變式：兩個焦點的距離等于8，橢圓上的一點P到兩焦點距離的和等于10.,（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點,,變式：橢圓經(jīng)過兩點A

10、 ,B,例4：若方程4x2+ky2=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，求k的取值范圍。,解：由 4x2+ky2=1,可得,因為方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，所以,即：0<k<4,所以k的取值范圍為0<k<4。,,三、小 結(jié)：,1、橢圓的定義,2、兩種標準方程的比較,3、在求橢圓方程時，要弄清焦點 在哪個軸上，是x軸還是y軸？ 或者兩個軸都有可能？,