考研概率論復(fù)習(xí)古典概型中幾種研究模型

1、古典概型中研究的幾類(lèi)基本問(wèn)題古典概型中研究的幾類(lèi)基本問(wèn)題:拋硬幣、擲骰(tu)子、摸球、取數(shù)等隨機(jī)試驗(yàn)在概率問(wèn)題的研究中有著十分重要的意義.一方面這些隨機(jī)試驗(yàn)是人們從大量的隨機(jī)現(xiàn)象中篩選出來(lái)的理想化的概率模型.它們的內(nèi)容生動(dòng)形象結(jié)構(gòu)清楚明確富有直觀性和典型性便于深入淺出地反映事物的本質(zhì)揭示事物的規(guī)律.另一方面這種模型化的處理方法思想活潑應(yīng)用廣泛具有極大的普遍性不少?gòu)?fù)雜問(wèn)題的解決常?？梢詺w結(jié)為某種簡(jiǎn)單的模型.因此有目的地考察并掌握若干常見(jiàn)

2、的概率模型有助于我們舉一反三觸類(lèi)旁通豐富解題的技能和技巧從根本上提高解答概率題的能力.本部分主要討論古典概率中的四類(lèi)基本問(wèn)題(摸球問(wèn)題、分球入盒問(wèn)題、隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題和選票問(wèn)題)給出它們的一般解法指出它們的典型意義介紹它們的常見(jiàn)應(yīng)用.一、摸球問(wèn)題[例1]袋中有α個(gè)白球β個(gè)黑球：(1)從中任取出a＋b個(gè)(ab∈Nα≤ab≤β試求所取出的球恰有a個(gè)白球和b個(gè)黑球的概率；(2)從中陸續(xù)取出3個(gè)球(不返回)求3個(gè)球依次為“黑白黑”概率；(3)逐一把

3、球取出(不返回)直至留在袋中的球都是同一種顏色為止求最后是白球留在袋中的概率.思考方法思考方法這里的三個(gè)小題摸球的方式各不相同必須在各自的樣本空間中分別進(jìn)行處理.(1)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)著從αβ個(gè)球中任取ab個(gè)球的一種取法無(wú)需考慮順序?qū)儆诮M合問(wèn)題.(2)中的每一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)著從αβ個(gè)球中依次取出三個(gè)球的一種取法需要考慮先后次序?qū)儆谂帕袉?wèn)題.(3)中事件的有利場(chǎng)合(摸剩白球)包含了α種不同情形：摸剩α個(gè)白球α1個(gè)白球…1個(gè)白球.因此必須

4、對(duì)各種情形分別加以考慮.[解](1)設(shè)A1表示事件“所取的ab個(gè)球中恰有a個(gè)白球和b個(gè)黑球”.從αβ個(gè)球中任意摸出ab個(gè)有種不同取法此即樣本空間所包含的樣本點(diǎn)總數(shù).而?????????????baCba????事件A1所包含的樣本點(diǎn)數(shù)相當(dāng)于從α個(gè)白球中任取a個(gè)從β個(gè)黑球中任取b個(gè)的取法種數(shù)共種.所以?????????????????baCCba????P(A1)=?????????????????????????????babaCCCb

5、aba????????(2)設(shè)A2表示事件“取出的3個(gè)球依次為黑白黑”.從αβ個(gè)球中依次任取3個(gè)有種取法此即樣本點(diǎn)總數(shù).對(duì)于有利場(chǎng)合第一個(gè)和第三個(gè)黑球可在β個(gè)黑球中依次取3???A得有種取法第二個(gè)白球可在α個(gè)白球中任取有種取法.因此A2所包含的樣本點(diǎn)2?A1?A數(shù)為.于是21??AA?P(A2)=)2)(1)(()1(???????????????求損壞的是不同產(chǎn)品的概率.(答案:)211mnmnCCC??(5)一個(gè)班級(jí)有2n個(gè)男生和2

6、n個(gè)女生把全班學(xué)生任意地分成人數(shù)相等的兩組求每組中男女生人數(shù)相等的概率.(答案：)nnnnnCCC24222?(6)從數(shù)12…n中任取兩數(shù)求所取兩數(shù)之和和偶數(shù)的概率.(答案：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)p=；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)p=)2222nnCC222)1(22)1(nnnCCC???不難發(fā)現(xiàn)上述各個(gè)問(wèn)題的解決都可以歸結(jié)為摸球問(wèn)題(例1(1)).我們說(shuō)摸球問(wèn)題具有典型意義原因也正在于此.二、分球入盒問(wèn)題二、分球入盒問(wèn)題[例2]把n個(gè)球以同樣的概率分配到Ｎ(

7、n≤Ｎ)個(gè)盒子中的每一個(gè)中去試求下列各事件的概率：(1)Ａ：某指定n個(gè)盒子中各有一球；(2)Ｂ：恰有n個(gè)盒子其中各有一球(3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)個(gè)球.思考方法思考方法解答本題時(shí)要發(fā)掘“n個(gè)球以同樣的概率分配到Ｎ個(gè)盒子中的每一個(gè)中去”一語(yǔ)的含義.這句話意思是說(shuō)每一個(gè)球被分配到任意一個(gè)盒子中去是等可能的；也就是說(shuō)每一個(gè)球各有Ｎ種不同的去向.[解]因?yàn)閚個(gè)球中的每一個(gè)球都以同樣的概率進(jìn)入Ｎ個(gè)盒子中的任意一個(gè)所以樣本點(diǎn)總數(shù)為Nn.

8、(1)n個(gè)球分別分配到Ｎ個(gè)預(yù)先指定的盒子中去相當(dāng)于n個(gè)球的全排列因此事件Ａ所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為An于是P(A)=nnnNnNA!?(2)對(duì)于事件Ｂｎ個(gè)盒子可自Ｎ個(gè)盒子中任意選取有種選法因而事件Ｂ包含nNC個(gè)樣本點(diǎn)于是!nCnN?P(B)=.)!(!!nNNNNnCnnnN????(8)事件Ｃ中的ｍ個(gè)球可以從n個(gè)球中任意選取有種選法其余的nm個(gè)球可以任mnC意分配到另外Ｎ1個(gè)盒子中去有(N1)nm種分配法.因而事件Ｃ包含個(gè)樣本mnmnNC?