時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的差分方法及誤差分析.pdf

1、由于在科學(xué)和工程中的成功應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階偏微分方程越來越受到研究者的重視，分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值方法研究也成為近年來應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算科學(xué)的一個重要方向，本文研究了帶有時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的低擴(kuò)散方程以及超擴(kuò)散方程(分?jǐn)?shù)階波方程)，對這幾類問題構(gòu)造了有限差分格式并建立相應(yīng)的誤差估計(jì)式。
　　首先考慮帶Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的低擴(kuò)散方程，對一維問題建立Crank-Nicolson格式以提高時間方向的全局精度，并給出具體的截

2、斷誤差估計(jì)式，我們證明了格式的唯一可解性，無條件穩(wěn)定性和H1范數(shù)下的收斂性，收斂階為O(τmin{2-γ/2，1+γ}h2)，其中γ(0<γ<1)是反常擴(kuò)散指數(shù)，τ和h分別表示時間和空間方向的網(wǎng)格步長，利用Sobolev嵌入定理，可得最大模誤差估計(jì)式。在Crank-Nicolson格式的基礎(chǔ)上建立緊差分格式并給出相應(yīng)的誤差估計(jì)，收斂階為O(τmin{2-γ/2，1+γ}h4).數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果的正確性，與相關(guān)工作的數(shù)值比較表明本文

3、算法的有效性，進(jìn)一步將該算法推廣到二維矩形域問題的求解，建立了緊交替方向隱格式，證明了算法的可解性，無條件穩(wěn)定性和收斂性。給出了兩個不同范數(shù)意義下的誤差估計(jì)式，分別為H1模意義下O(τmin{2-γ/2，2γ}h41+h42)，以及H1γ模意義下O(2γ+h41+h42)，其中h1，h2代表空間網(wǎng)格步長。
　　接下來研究帶α(0<α<2)階Caputo導(dǎo)數(shù)的二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散-方程，對于帶有α(0<α<1)階caputo導(dǎo)數(shù)的二維分?jǐn)?shù)

4、階擴(kuò)散方程，構(gòu)造了兩個具有不同時間精度的交替方向隱格式，空間方向采用標(biāo)準(zhǔn)的中心差分方法，時間方向利用L1近和向后Euler方法的思想構(gòu)造交替方向格式.在每一個固定時間層上，高維問題的求解轉(zhuǎn)化為求解一系列相互獨(dú)立的一維問題，從而降低了計(jì)算復(fù)雜度和CPU時間.理論上證明了兩個格式的唯一可解性，穩(wěn)定性和H1模收斂性.數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論結(jié)果，與傳統(tǒng)隱格式的數(shù)值比較表明本文方法的有效性.將這一思想應(yīng)用到帶α(1<α<2)階Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階