與圖形與幾何有關的核心素養(yǎng)及思想方法(

1、與圖形與幾何有關的核心素養(yǎng)及思想方法,王永春,中國學生發(fā)展核心素養(yǎng),學生發(fā)展核心素養(yǎng)，主要指學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關鍵能力。研究學生發(fā)展核心素養(yǎng)是落實立德樹人根本任務的一項重要舉措，也是適應世界教育改革發(fā)展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要。 中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)，以科學性、時代性和民族性為基本原則，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與三個方面。 綜合表

2、現(xiàn)為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新六大素養(yǎng)，具體細化為國家認同等十八個基本要點。根據(jù)這一總體框架，可針對學生年齡特點進一步提出各學段學生的具體表現(xiàn)要求。,,社 會 參 與,自 主 發(fā) 展,文化基礎,全面發(fā)展的人,學會學習健康生活,人文底蘊科學精神,責任擔當 實踐創(chuàng)新,中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系,,（一）高中數(shù)學核心素養(yǎng) 數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)

3、，是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的。數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關鍵能力。高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學核心素養(yǎng)既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體。,2024/3/26,高中數(shù)學核心素養(yǎng)與課程目標,,（二）課程目標 通過高中數(shù)學課程的學習，獲得進一步學習以及未來發(fā)展必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想

4、、基本活動經(jīng)驗（簡稱“四基”）；提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；學會用數(shù)學眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)；學會用數(shù)學思維分析世界，發(fā)展邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)；學會用數(shù)學語言表達世界，發(fā)展數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。,2024/3/26,小學數(shù)學核心素養(yǎng)2011版課標：四基：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗四能：發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題十大核心概念：數(shù)感、

5、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創(chuàng)新意識高中數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。把基本和重要的數(shù)學思想，上升到面對世界的高度：三會,我們先從中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)（如下）開始分析，從中可以發(fā)現(xiàn)，如果每個學科都從自己學科內(nèi)部角度界定本學科核心素養(yǎng)，那么各學科核心素養(yǎng)主要集中在文化修習這個維度，其他兩個維度中的責任擔當、學會學習、健康生活的一

6、部分等，可能會成為少人問津的真空地帶，即各學科核心素養(yǎng)的交集為0（如下左圖）。也就是說，各學科在制定本學科的核心素養(yǎng)時，不能完全從學科本位的角度考慮、不能只掃門前雪，應該站在中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的高境界思考問題，即每個學科承擔更多的公共責任和義務。這樣的學科核心素養(yǎng)才是有境界的、有內(nèi)涵的、有擔當?shù)?，否則各學科還有可能重蹈覆轍，在各自的小圈子里搞應試教育。,關于學科核心素養(yǎng)的制定，反應了學科教育的一種思想和理念，從世界一些發(fā)達國家各學科的

7、核心素養(yǎng)中可以看出他們的理念和豐富內(nèi)涵。 德國數(shù)學學科核心素養(yǎng)為：數(shù)學證明、數(shù)學的解決問題、數(shù)學建模、運用數(shù)學表達、運用數(shù)學符號、公式和技巧、數(shù)學交流。 美國數(shù)學教育強調(diào)問題解決、推理與證明、交流、關聯(lián)、表征。 韓國高中數(shù)學核心素養(yǎng)為：問題解決、推理、創(chuàng)新·融合、思想溝通、信息處理、態(tài)度和實踐。 從以上幾個發(fā)達國家的學科核心素養(yǎng)可以發(fā)現(xiàn)，交流是各個國家各個學科都特別重視的，超越了學科知識本位的

8、思想局限，沒有完全站在學科內(nèi)部考慮，而是體現(xiàn)了學生總體的核心素養(yǎng)。,綜上所述，中國學生的各學科核心素養(yǎng)應該站在中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)的時代高度考慮，具有大局觀念、大視野，即各學科核心素養(yǎng)的交集才會盡可能地大（見上右圖），或者最大公約數(shù)盡可能地大，這樣中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)才會全面落實。 據(jù)此我們認為，小學數(shù)學核心素養(yǎng)是在理解數(shù)學核心概念、掌握和運用數(shù)學規(guī)律和關系的基礎上形成的，具有可持續(xù)學習數(shù)學和交流、表達、解決現(xiàn)實世界實際

9、問題的思想和能力。 根據(jù)小學生的年齡和認知特點、教師對核心素養(yǎng)的理解及教學的可行性，把數(shù)學核心素養(yǎng)直接提煉成數(shù)學思想對于學生和教師而言，落實起來是有難度的，因此在四基、四能、十大核心概念和高中數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎上，我們從數(shù)學認知、思想能力、個人發(fā)展三個維度構(gòu)建小學數(shù)學核心素養(yǎng),,思 想 能 力,個 人 發(fā)展,核心素養(yǎng)從哪里來？ 數(shù)學認知,具有數(shù)學素養(yǎng)的人,思考自學合作交流創(chuàng)新實

10、踐,數(shù)學概念數(shù)學規(guī)律數(shù)學關系,數(shù)學抽象 運算推理 數(shù)學模型 直觀想象 數(shù)據(jù)分析 轉(zhuǎn)化思想,,核心素養(yǎng)到哪里去？核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn),核心素養(yǎng)怎么形成？既是途徑手段又是目標,核心素養(yǎng)內(nèi)涵是什么？,小學數(shù)學核心素養(yǎng)體系,數(shù)學認知水平：了解、理解、掌握、運用（只見樹木、不見森林） 分析與綜合 評價、創(chuàng)造(數(shù)學課程標準沒有

11、高級認知目標)數(shù)學概念：概念是關系、規(guī)律、思想方法的基礎。 有研究表明：對數(shù)學概念的表征水平與數(shù)學成績呈正相關。表征（representation）是信息在頭腦中的呈現(xiàn)方式。也可以用“表示”，更容易理解。,數(shù)學認知,多元表征是加強學生理解知識的有效方式。 有研究表明，高中生對數(shù)學概念的表征（理解）水平，多數(shù)通過具體例子、畫圖（像）和描述性語言表征，如單調(diào)增函數(shù)的概念，有52.63%的學生通過畫函數(shù)圖像、28.42

12、%的學生通過描述性語言表征；只有3.16%的學生能夠用定義表征。,高中學生數(shù)學成績與數(shù)學概念表征水平（單個表征的層次水平和多元表征水平）有顯著正相關，相關系數(shù)為0.52.初三學生數(shù)學成績與數(shù)學概念表征水平相關系數(shù)是0.637. 為了提高數(shù)學成績，要堅強多元表征，同時要適時抽象。直觀與抽象形影不離。當然，抽象的定義不能直接灌輸給學生，而是由學生自己經(jīng)歷建構(gòu)概念的過程。 概念意象（表象）與概念定義都重要，但是基于很多優(yōu)秀的

13、學生也經(jīng)常用直觀的方式（概念意象、表象）表示概念。所以不必讓學生死記硬背定義，關鍵是概念的各種表征方式的關聯(lián)，以及概念的運用。,圖形中高的概念的建立,1.生活中的高2.平行四邊形的高、梯形的高3.三角形的高4.長方體的高5.圓柱的高6.圓錐的高案例：2017年5月福州人教版觀摩交流會，黑龍江哈爾濱王均杰執(zhí)教的：認識三角形,,,,,數(shù)學規(guī)律：性質(zhì)、法則、定律、公理、定理等，是運算和推理的依據(jù)數(shù)學關系：模型（公式、數(shù)量關

14、系式、方程、函數(shù)等） 關聯(lián)（整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)（有理數(shù)）、無理數(shù)，圖形之間的關系，數(shù)與形數(shù)學與生活、數(shù)學與其他學科等） 結(jié)構(gòu)化（知識結(jié)構(gòu)、認知結(jié)構(gòu)）為什么數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是核心素養(yǎng)的基礎，而不是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)？因為數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學的，數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是屬于學生的。,數(shù)學認知,學習除法認識了一棵楊樹,學習分數(shù)認識了一棵柳樹,學習比認識了一棵梧桐樹,都學習了要看到一片森林！a÷b=

15、 = a : b(b≠0),分數(shù)的基本性質(zhì) 類推 分式的基本性質(zhì)蘊含了豐富的思想方法：變中有不變的思想、恒等變形方法、數(shù)形結(jié)合方法、關聯(lián)思想（普遍聯(lián)系）、類比推理方法,a÷b = = a : b(b≠0)商不變規(guī)律 分數(shù)的基本性質(zhì) 比的基本性

16、質(zhì),?初中的圖形與幾何：?初中主要研究圖形的性質(zhì)和判定，其中概念是基礎?什么是性質(zhì)——組成要素（邊、角）之間的關系（位置關系和數(shù)量關系）如三角形的三條邊、三個角、三個頂點是基本要素，高、中線、中位線、角平分線、外角等是相關要素，相交、平行、垂直是位置關系，內(nèi)角和是180°、a+b>c等是數(shù)量關系。?什么是判定——組成要素需要具備的條件?性質(zhì)和判定的互逆關系?從一般到特殊研究圖形,數(shù)學思想,數(shù)學概念、關

17、系、規(guī)律是數(shù)學思想的基礎和載體。數(shù)學抽象：數(shù)量及數(shù)量關系、圖形及關系的數(shù)學屬性的提取概括。 在數(shù)學的教與學的過程中，始終伴隨著抽象，但是有意識與無意識地抽象是有區(qū)別的，有意識去抽象有利于學生思維的發(fā)展。圖形的抽象，從生活情境中抽象出圖形是共性，理解概念，用不同方式表征概念，理解、探索性質(zhì)、公式如無論什么形狀的圖形，度量的本質(zhì)都是求這個圖形里含有多少個度量單位（單位1）,符號思想是模型思想、方程思想、函數(shù)思想、推理思想

18、 的基礎。有利于從本質(zhì)上理解和應用數(shù)學。,推理思想： 　推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式。推理所根據(jù)的判斷叫前提，根據(jù)前提所得到的判斷叫結(jié)論。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。演繹推理是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特征是：當前提為真時，結(jié)論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關系推理等。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借

19、經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。合情推理的常用形式有：歸納推理和類比推理。當前提為真時，合情推理所得的結(jié)論可能為真也可能為假。,案例3：如下左圖，兩條直線相交形成4個角，你能說明∠2=∠4嗎？,分析：此題在初中要根據(jù)“同角的補角相等”來證明對頂角相等。那么，在小學階段，如何根據(jù)已有知識進行簡單的證明呢？我們已經(jīng)知道平角等于180度，再根據(jù)等量代換等知識就可以證明。下面給出最簡單的證明：因為∠1和∠2、∠1和∠4分別組成平角，

20、所以∠1+∠2=180°、∠1+∠4=180°，根據(jù)加減法各部分間的關系，可得 ∠2=180°-∠1、∠4=180°-∠1，根據(jù)等量代換，可得∠2=∠4。再看右上圖，在初中要證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，在小學階段同樣可以類似地得到證明。,（2012?杭州）有一組互不全等的三角形，它們的邊長均為整數(shù)，每個三角形有兩條邊的長分別為5和7．（1）請寫出其中一個三角形

21、的第三邊的長；（2）設組中最多有n個三角形，求n的值；（3）當這組三角形個數(shù)最多時，從中任取一個，求該三角形周長為偶數(shù)的概率．分析：利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，進行關系推理。可列舉出第三邊的長：11，10，9，8，7，6，5，4，3。 兩邊的和： 5+7=12， 第三邊為偶數(shù)：10，8，6，4. 概率為：4/9.,四下練習：,關系推理、分類討論思想：開放題：一個

22、等腰三角形的兩條邊長分別5cm和6cm, 求周長。分類討論：（1）腰6、底邊5，C=6×2+5=17（2）腰5、底邊6，C=5×2+6=16一個等腰三角形的兩條邊長分別1cm和3cm, 求周長。只有一種情況。,證明的兩種方法：綜合法和分析法 綜合法：根據(jù)已知條件和規(guī)律，能推出什么？ 分析法：從問題（需要證明的結(jié)論）出發(fā)，尋找條件

23、。小升初試題,長方形BCFE的面積=9×2=18. 所以ABCD的面積=18×4=72BC×CD=9×CD=72，所以CD=8，DF=CD-CF=8-2=6， AE=DF=6.,歸納法在小學運用廣泛。 類比法是非常重要的，應該加強。如與平面圖形推導面積計算公式類比， 立體圖形的體積就是求一個立體圖形含有多少個 單位正方體（棱長為1的正方體）再如，通過四邊形的對角線把一

24、個四邊形轉(zhuǎn)化為 2個三角形，求出四邊形的內(nèi)角和是360°.五邊形、六邊形等都可以與四邊形進行類比、歸納出多邊形的內(nèi)角和公式。 在數(shù)學各個模塊的學習中，初次學習用歸納法，第二次及以上的學習用類比方法！當然，中學的很多命題或者結(jié)論需要用演繹推理證明。,運算能力:計算是具體的推理，推理是抽象的計算長度（周長）、角、面積、體積等的計算，不追求復雜，但是簡單的計算要熟練掌握。,2015北京中考數(shù)學題：計算與推理加強聯(lián)系

25、，減少計算的量和繁瑣程度張景中院士：推理是抽象的計算，計算是具體的推理,平行線的性質(zhì)及其應用問題,直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),2016年：南昌,2014河南：加強計算中的推理,Rt?OAB,AB=4,AO=6/2=3,BO=5,BD=10。,空間觀念（想象）雖然義務教育階段以平面幾何為主。但是仍然要重視空間（一維、二維、三維）觀念的培養(yǎng)。 主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物

26、體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等?？臻g知覺 空間觀念 空間想象,,,數(shù)學教學：傳統(tǒng)的數(shù)學教育重視思維訓練，那么， 數(shù)學思維與數(shù)學思想方法的關系是什么？哲學：認識的過程：感性 理性，實踐 理論 實踐心理學：認知過程：感覺 知覺 注意 記憶 思維 想象思維

27、的過程：分析、綜合、抽象、概括、比較、分類、系統(tǒng)化思維的形式：概念、判斷、推理思維的分類：直觀動作思維、具體形象思維、抽象邏輯思維 形式邏輯、辯證邏輯數(shù)學思維：本來應該是十分豐富的，但現(xiàn)實往往就是抽象邏輯推理和復雜計算，分析抽象的數(shù)量關系。,概念是思維的基本形式，也是判斷、推理的基

28、礎空間能力既需要以表象為基礎，也需要理解概念，在此基礎上進行判斷和推理，想象。,觀察：實物、幾何體、直觀圖，比較異同操作：拼擺、折疊、裁剪、測量、活動、展開圖、制作、畫圖 幾何畫板等現(xiàn)代技術的運用概念：多元表征判斷、推理：想象：,拼擺：各種基本平面及立體圖形、七巧板、三角板等,折疊：,2016年：烏蘭浩特 加強推理與計算的融合 折疊就是軸對稱，

29、 DQ=AQ=9-BQ，（9-BQ）²=BQ²+3²，BQ=4,裁剪：,畫圖：,2017年全國小學數(shù)學人教版觀摩交流會廣東汕頭林清老師：線段、直線、射線,幾何直觀（1）什么是幾何直觀？　　幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮

30、著重要作用。 幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關系：以形助數(shù)，以數(shù)解形。（2）幾何直觀的應用　 幾何知識的學習本身需要借助直觀，其他知識更需要借助直觀：數(shù)與代數(shù)、統(tǒng)計與概率等，如數(shù)形結(jié)合：線段圖、圖形、樹狀圖、數(shù)軸、函數(shù)圖像、統(tǒng)計圖表等 高中和大學的微積分也離不開數(shù)形結(jié)合。,從幾何直觀到推理論證是研究幾何圖形的重要方法如平行四邊形，通過對角線，轉(zhuǎn)化為三角形和平行線等知識。那么就可以利用研究三角形和平行線的方法研究平行四邊形。1.

31、性質(zhì)：組成要素及關系？2.判定：通過小學的觀察、測量、實驗操作等幾何直觀的方法初步得到結(jié)論，如何證明？,第一、二、三學段，幾何直觀、合情推理與演繹推理證明相結(jié)合，從實驗幾何、直觀幾何逐步過渡到論證幾何。觀察、測量、實驗、探究、歸納、類比得出結(jié)論，通過演繹推理證明結(jié)論，逐步養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習慣。推理論證不僅是證明或推翻猜想，也是發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的重要手段。循序漸進安排推理論證：“說點兒理”“說理”“簡單推理”“符號表示推理”,知道

32、內(nèi)角畫不同類型三角形明確問題（結(jié)論）可猜想，再測量計算由平角引導學生把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角操作（實驗）驗證歸納結(jié)論滲透：內(nèi)錯角、同位角相等初中會用更加嚴格的方法證明。,七下平行線的判定、性質(zhì)，命題、定理、證明,已有知識：三角形內(nèi)角和=180°平角=180°平行線的性質(zhì)、判定引導學生把內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成平角利用了平行線的判定為作輔助線提供依據(jù)和鋪墊。右邊的更好理解，左邊的兩個角的邊共線，要用到平

33、行公理。,輔助線就像方程中的未知數(shù)X再利用平行線的性質(zhì)內(nèi)錯角相等感悟推理證明的思想方法,剪拼的右圖：相當于把∠2向右平移根據(jù)平移的性質(zhì)：平移前后圖形的大小、現(xiàn)狀完全相同，所以∠2= ∠5，所以AB∥L，所以∠1= ∠4.這樣輔助線L就很自然得出。,幾何直觀與數(shù)形結(jié)合的關系。（1）數(shù)形結(jié)合思想。　數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關系與空間形式的科學。數(shù)和形是客觀事物不可分離的兩個數(shù)學表象，兩者既是對立的又是統(tǒng)一的．數(shù)

34、學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”數(shù)與形的對立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。尤其是直角坐標系與幾何的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。 數(shù)形結(jié)合有兩個方面： A. 以形助數(shù)。 B. 以數(shù)解形。,（2）利用圖形描述和分析問題，這個問題包括幾何本 身的問題。 加強操作、觀察、想象、操作，是培養(yǎng)空間觀念的有效方法。 長方體、正方體展開圖也要加強用這些方