2016年大學自主招生數(shù)學講義第六講 導數(shù)與積分

1、20172017年自招與三位一體專題年自招與三位一體專題第六講第六講導數(shù)與積分導數(shù)與積分在近年自主招生試題中，在近年自主招生試題中，有關導數(shù)與積分的內容大約占有關導數(shù)與積分的內容大約占20%20%—30%30%。一、知識精講一、知識精講一導數(shù)的定義：一導數(shù)的定義：設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，若極限()yfx?0x（）存在，則稱函數(shù)在點可導，并稱其極限值為函數(shù)000()()limxxfxfxxx???f0xf在的導數(shù)，記作。0x0()f

2、x若令，則（）式可改寫為000()()xxxyfxxfx????????0000()()limlimxxfxxfxyxx???????????。0()fx?二導數(shù)的幾何意義：二導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點的導數(shù)是曲線在點處切線的斜率。f0x0()fx()yfx?00(())xfx若表示這個切線與軸正向的夾角，則。?x0()tanfx??三基本求導法則：三基本求導法則：①；②，()uvuv???()uvuvuv??()cucu?（為常數(shù)）；c

3、③；④反函數(shù)導數(shù)；221uuvuvvvvvv????????????????1dydxdxdy?⑤復合函數(shù)導數(shù)。dydydudxdudx??四基本初等函數(shù)導數(shù)四基本初等函數(shù)導數(shù)公式①（為常數(shù)）；②（為任何實數(shù)）；()0c?c1()aaxax??a③，，，，(sin)cosxx?(cos)sinxx??2(tan)secxx?2(cot)cscxx??【20122012年江蘇】年江蘇】12.12.已知為實數(shù)，，函數(shù).若ab2a?()|ln

4、|(0)afxxbxx????.(1)1(2)ln212efef?????（1）求實數(shù)；ab（2）求函數(shù)的單調區(qū)間；()fx（3）若實數(shù)滿足，求證：.cd1cdcd??()()fcfd?解：解：（1）由題設f(1)?e1，f(2)??ln21得|a|b?e1，2e|ln2?|b??ln21，2a2e因為a2，所以a2ln2，從而ab?e1，且b?1，2a2e解得a?e，b?1...............................

5、............................5分（2）由（1）得f(x)?|lnx?|1.ex因為lnx，?在(0∞)上均單調遞增，lne??0.exee令g(x)?lnx?，所以有ex當xe時，g(x)g(e)?0，從而f(x)?lnx?1單調遞增；ex當0d，cd?1，所以，c1，1dc?于是f(c)?|?lnc|1，f(d)?f()?|eclnc|1?ecec1clnc1.又因為當c1時，eclnclnc|lnc?|，