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1、1解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題解析幾何中的定值定點(diǎn)問(wèn)題一、定點(diǎn)問(wèn)題一、定點(diǎn)問(wèn)題【例1】已知橢圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的C22221(0)xyabab????32圓與直線相切20xy???⑴求橢圓C的方程;⑵設(shè),、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),(40)PMNCxPNCE求直線的斜率的取值范圍;PN⑶在⑵的條件下,證明直線與軸相交于定點(diǎn)MEx解:⑴由題意知,所以,即,又因?yàn)?,所?2cea?
2、?22222234cabeaa????224ab?2111b???,故橢圓的方程為:2241ab??CC2214xy??⑵由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為①PNPN(4)ykx??聯(lián)立消去得:,22(4)14ykxxy?????????y2222(41)324(161)0kxkxk?????由得,2222(32)4(41)(644)0kkk??????21210k??又不合題意,0k?所以直線的斜率的取值范圍是或PN306k???
3、306k??⑶設(shè)點(diǎn),則,直線的方程為,1122()()NxyExy11()Mxy?ME212221()yyyyxxxx?????令,得,將代入整理,得②0y?221221()yxxxxyy????1122(4)(4)ykxykx????12121224()8xxxxxxx?????由得①代入②整理,得,22121222326444141kkxxxxkk??????1x?所以直線與軸相交于定點(diǎn)MEx(10)【針對(duì)性練習(xí)【針對(duì)性練習(xí)1】在直
4、角坐標(biāo)系中,點(diǎn)到點(diǎn),的距離之和是,點(diǎn)的軌xOyM??130F???230F4M跡是與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和CxAA:lykxb??CPQ⑴求軌跡的方程;C⑵當(dāng)時(shí),求與的關(guān)系,并證明直線過(guò)定點(diǎn)0APAQ??????????kbl解:⑴∵點(diǎn)到,的距離之和是,∴的軌跡是長(zhǎng)軸為,焦點(diǎn)在軸上焦中為M??30???304MC4x3由422??PBPF,得2222(2)[(3)]4xyxy??????化簡(jiǎn)得92x?。故所
5、求點(diǎn)P的軌跡為直線92x?。(2)將31221??xx分別代入橢圓方程,以及0021??yy得:M(2,53)、N(13,209?)直線MTA方程為:0352303yx?????,即113yx??,直線NTB方程為:032010393yx??????,即5562yx??。聯(lián)立方程組,解得:7103xy???????,所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為10(7)3。(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9)m直線MTA方程為:03093yxm?????,即(3)12myx?
6、?,直線NTB方程為:03093yxm?????,即(3)6myx??。分別與橢圓15922??yx聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到1233xx???,解得:2223(80)40()8080mmMmm???、2223(20)20()2020mmNmm????。(方法一)當(dāng)12xx?時(shí),直線MN方程為:222222222203(20)202040203(80)3(20)80208020mmyxmmmmmmmmmm??????????????令0y?
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