第二章 概率論悖論

1、第二章概率論悖論近來，幾乎沒有一個數(shù)學(xué)教師不知道概率對生活的重要，按約瑟夠巴特勒的說法，概率是“生活的真正指南”，正如它是現(xiàn)代科學(xué)的每一學(xué)科的指南一樣?？梢钥隙ǖ仡A(yù)言，幾年以后大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)生將要學(xué)習(xí)更多的概率論，包括它在科學(xué)、技術(shù)和政府中的無限應(yīng)用。最近一本較為成功的普通數(shù)學(xué)教科書——哈洛爾德雅可比的《數(shù)學(xué)—人類的魄力》就有很長篇幅介紹初等概率論。學(xué)生閱讀這些材料，或者其他著名教科書中的同樣內(nèi)容，將會充實地閱讀本書所需的真知灼見的背景知

2、識，還可以向他提供充分理解本書內(nèi)容所需的一切資料。我們相信還沒有深入學(xué)習(xí)概率論的學(xué)生在看了此書之后將被激起學(xué)習(xí)概率論的強烈愿望。在數(shù)學(xué)中沒有任何一個其他分支有這么多例子能說明直覺會得出錯誤的結(jié)論，而正確的解答又與常識矛盾。當(dāng)一個學(xué)生看到一個概率悖論時，他的第一個反應(yīng)是不相信。他的第二個反應(yīng)幾乎肯定是想要清除疑云迷霧。自然，要是不學(xué)一點概率論這肯定是辦不到的。在本書中，我們除選取了一些基本問題之外，還選了一些與讀者的經(jīng)驗最接近，最能引起興

3、趣的問題。用撲克牌和骰子做的簡單游戲特刪有吸引力。相反，我們避免了如量子力學(xué)這類科學(xué)領(lǐng)域的問題，這些東西盡管也充滿悖論可是它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了一般中學(xué)生的理解能力。我們還力圖盡可能清楚地作出每一個解答。這往往要列舉一切可能的情況，使人們毫不懷疑解答的正確性。這類問題有很多都可以用公式或代數(shù)方法簡便解出。不過，對于初學(xué)的學(xué)生，用較笨的方法解問題不僅容易些，而且還有助于深入體察問題的結(jié)構(gòu)。一個已發(fā)生興趣的學(xué)生將會找到時間來學(xué)會如何用更高明的方法解

4、這類問題。這本小冊子的主要目的，是幫助你用小故事作階梯來引導(dǎo)學(xué)生深入到概率論較深奧的內(nèi)容中去。我們已努力寫入盡可能多的背景知識，它們一則對課堂討論有用，二則預(yù)先提出了一些較機靈的學(xué)生可能提出的問題。我們還附加了一些其他的與畫片很接近的悖論，我們相信它同樣有意思。我們還花了一定力量建立很多使用撲克和硬幣的悖論范例。這樣問題就可按這種游戲來闡明，而不需要昂貴的教學(xué)設(shè)施。我們希望讀者能發(fā)現(xiàn)這些問題的艱深。其中有些涉及到人們不了解的賭博游戲，這

5、種游戲可能是激發(fā)起學(xué)生興趣的基礎(chǔ)。大多數(shù)人很難相信一個獨立事件的概率由于某種原因會不受臨近的同類獨立事件的影響。比如，第一次世界大戰(zhàn)期間，前線的戰(zhàn)士要找新的彈坑藏身。他們確信老的彈坑比較危險，因為他們相信新炮彈命中老彈坑的可能性較大。因為，看起來不可能兩個炮彈一個接一個都落在同一點，這樣他們就合理地認(rèn)為新彈坑在一段時間內(nèi)將會安全一些。有一個故事講的是很多年前有一個人坐飛機到處旅行。他擔(dān)心可能哪一天會有一個旅客帶著隱藏的炸彈。于是他就總是

6、在他的公文包中帶一枚他自己卸了火藥的炸彈。他知道一架飛機上不太可能有某個旅客帶著炸彈，他又進(jìn)一步推論，一架飛機上同時有兩個旅客帶炸彈是更加不可能的事。事實，他自己帶的炸彈不會影響其他旅客攜帶炸彈的概率，這種想法無非是以為一個硬幣扔出的正反面會影響另一個硬幣的正反面的另一種形式而已。所有輪盤賭中最受歡迎的系統(tǒng)是戴倫伯特系統(tǒng)，它正是以賭徒未能認(rèn)識到獨立事件的獨立性這一“賭徒謬誤”為基礎(chǔ)的。參與者賭紅色或黑色（或其他任何一個對等賭金的賭），每

7、賭失敗一次就加大賭數(shù)，每賭贏一次就減少賭數(shù)。他們猜想，如果小小的象牙球讓他贏了，那么就會有某種原因“記住”它，不太可能讓他在下一次再贏；如果小球使他輸了，這將感到抱歉，很可能幫助他在下一次贏。事實是每一次旋轉(zhuǎn)，輪盤都與以前旋的結(jié)果無關(guān)，這就十分簡單地證明了，任何一個賭博系統(tǒng)給賭徒的好處都不會比給賭場主的還多。約翰斯卡恩在他的“賭博大全”一書中寫道：“當(dāng)你象一般組織好的賭賽中常有的情況，你要因賭場主設(shè)賭而給他一定百分比的錢，故你贏的機會就

8、如數(shù)學(xué)家所說的是負(fù)的期望。當(dāng)你使用一種賭博系統(tǒng)時，你總要賭好多次，而每一次都是“負(fù)的期望”。絕無辦法把這種負(fù)期望加成正的……“埃德加阿倫坡寫的骰子的笑話出在他的偵探故事的跋中，題為“瑪麗羅杰特之謎”。一粒骰子，一枚硬幣，一個賭盤，或者任何一種隨機裝置，都會產(chǎn)生一系列獨立事件，這些事件無論如何也不會受到這種裝置過去狀態(tài)的影響。如果你們總愿意相信某種賭徒謬誤，那么一個有意義的課堂活動就是假裝玩一次實際的以賭徒謬誤為基礎(chǔ)的賭博游戲。比如，一個