2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)霸提分秘籍專題3.4 導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用（解析版)

1、1第三篇第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題專題3.04導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用【考點(diǎn)聚焦突破】考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式【例1】已知函數(shù)f(x)＝1－，g(x)＝x－lnx.x－1ex(1)證明：g(x)≥1；(2)證明：(x－lnx)f(x)1－.1e2【答案】見解析【解析】證明(1)由題意得g′(x)＝(x0)，x－1x當(dāng)01時(shí)，g′(x)0，即g(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù).所以g(x)≥g

2、(1)＝1，得證.(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，x－1exx－2ex所以當(dāng)02時(shí)，f′(x)0，即f(x)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)≥f(2)＝1－(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)取等號(hào)).①1e2又由(1)知x－lnx≥1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))，②且①②等號(hào)不同時(shí)取得，所以(x－lnx)f(x)1－.1e2【規(guī)律方法】1.證明不等式的基本方法：(1)利用單調(diào)性：若f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則①

3、?x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②?x1，x2∈[a，b]，且x10時(shí)，lnx＋1－等價(jià)于x(lnx＋1)－.1ex＋12e2xxex＋12e2由(1)知a＝－1時(shí)，f(x)＝xlnx＋x的最小值是－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào).1e21e2設(shè)G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，xex＋12e2則G′(x)＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，1－xex＋11e2當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到，從而可知對(duì)一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)

4、G(x)，即lnx＋1－.1ex＋12e2x【規(guī)律方法】1.在證明不等式中，若無(wú)法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，則可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題.2.在證明過(guò)程中，等價(jià)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)ming(x)max恒成立.從而f(x)g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個(gè)“x的值”.【訓(xùn)練2】已知三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－3x2＋3且f(0)＝－1，g(x)＝xlnx＋(a≥1).ax(1)求f(x)的極值；(

5、2)求證：對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有f(x1)≤g(x2).【答案】見解析【解析】(1)解依題意得f(x)＝－x3＋3x－1，f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)，知f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是減函數(shù)，在(－1，1)上是增函數(shù)，所以f(x)極小值＝f(－1)＝－3，f(x)極大值＝f(1)＝1.(2)證明易得x0時(shí)，f(x)最大值＝1，由a≥1知，g(x)≥xlnx＋(x0)，1x令h(x)＝xln