同倫分析方法在非線性力學和數(shù)學生物學中的應(yīng)用.pdf

1、1.研究內(nèi)容、目的和意義
　　 針對非線性問題，人們已經(jīng)發(fā)展出了許多方法，如各種攝動法、Adomian分解法、δ展開法、Lyapunov人工小參數(shù)方法等等，并在許多問題上獲得了巨大的成功。然而，這些方法也各有其缺點和不足，如對小參數(shù)的依賴性、級數(shù)解的收斂性無法保證、人工小參數(shù)難于選取等，這些極大地限制了上述方法的應(yīng)用范圍和有效性。為了克服這些困難和不足，廖世俊教授于1992年發(fā)展了一種新的非線性分析工具-同倫分析方法(Homot

2、opy Analysis Method，HAM[15])。該方法不依賴于某個小參數(shù)，并且所獲得的近似級數(shù)解的收斂性可以通過引入的輔助參數(shù)(h)來控制和調(diào)節(jié)。同倫分析方法在解的基函數(shù)表達、線性算子和初始解的選取上具有很大的靈活性。合理地選取這些要素，能夠進一步增強解級數(shù)的收斂性，從而能夠以較低的階數(shù)獲得解的高精度近似。同倫分析方法已經(jīng)在許多非線性問題上獲得了成功，如邊界層傳熱傳質(zhì)、非相似邊界層問題、非定常邊界層問題、多解問題、非線性振動問

3、題、非線性波動問題、波流相互作用問題、金融數(shù)學中的美式看跌期權(quán)問題等等，這些都表明了同倫分析方法處理非線性問題的有效性和巨大潛力。
　　 但是同倫分析方法仍然有值得探索的余地。首先，盡管同倫分析方法提供了輔助參數(shù)(h)來控制級數(shù)的收斂性，但是，對于某些強非線性問題，仍需要在較高的階數(shù)下才能獲得足夠精確的近似。這對于希望以低階近似就能把握事物本質(zhì)的研究者來講，顯然是不可接受的。好在同倫分析方法解決收斂性問題不止上述一條途徑。它還提

4、供了其他的方法。許多研究者早就注意到，同倫分析方法在基函數(shù)表達、線性算子和初始解的選取上具有靈活性。不同的選擇，解的收斂性有時會有顯著的不同。另外，通過對原方程引入新的變換，也可以改善解的收斂性。但是，關(guān)于這些改善收斂性的方法，并沒有學者作出詳細的比較研究和論述。因此本論文首先專注于同倫分析方法的收斂性，詳細討論新變換或不同的基函數(shù)、線性算子或初始解對解級數(shù)的收斂性的影響。目的是為強非線性問題的處理提供一些思路和途徑，具有完善同倫分析方

5、法的理論意義。
　　 在應(yīng)用層面，雖然同倫分析方法已經(jīng)成功地求解了許多非線性問題，但是關(guān)于它的應(yīng)用遠不是全面的和充分的。自然界本質(zhì)上是非線性的，各個領(lǐng)域中都普遍存在許多非線性現(xiàn)象?？茖W技術(shù)的發(fā)展也催生了許多新興交叉學科，這些學科中也衍生出各種各樣的非線性問題。這些都給同倫分析方法提供了廣闊的應(yīng)用空間，同時也給同倫分析方法的進一步發(fā)展提供了契機，使得該方法在解決各種具有挑戰(zhàn)性的非線性問題的過程中不斷獲得發(fā)展和完善。本論文首次將同倫

6、分析方法應(yīng)用于數(shù)學生物學這一新興交叉學科中的疾病傳播模型和時間滯后問題。首次獲得了幾個著名模型的解析近似解，并為這一領(lǐng)域的類似問題提供了一種解析方法。
　　 綜上所述，本論文的工作是兩方面的。首先，我們詳細討論了同倫級數(shù)解的收斂性與新的變換、基函數(shù)表達、線性算子以及初始解的關(guān)系。我們以非線性力學中的幾個問題為例證明，對于強非線性問題，我們可以利用同倫分析方法的靈活性，通過引入新的變換或不同要素的選擇來提高級數(shù)解的收斂性。另一方面

7、，我們還將上述成果應(yīng)用于非線性數(shù)學生物學中。這既是對同倫分析方法的完善，也為非線性數(shù)學生物學提供了一種解析方法，具有理論意義和應(yīng)用價值。
　　 2.論文的主要工作
　　 2.1、VanderPol方程
　　 論文的第二章研究了如何在同倫分析方法的框架下通過引進新的變換來提高解的收斂性。我們以如下的VanderPol方程為例x"+∈(x2-1)x'+x=0，滿足如下的周期條件x(0)=x(T)，其中(ε)∈[0,∞

8、）。該方程作為一個基本模型廣泛應(yīng)用于生物學、生物化學、力學和電子工程等領(lǐng)域。不同的學者對其進行了數(shù)值和解析解的求解工作。廖世俊教授曾經(jīng)應(yīng)用同倫分析方法求解過該方程[36]。本論文中我們引進新的變換，以提高級數(shù)解的收斂性。
　　 引進如下變換x(t)=γy(ξ)，ξ=ωt，ω=2π/T,μ=(ε)/1+(ε)其中ω為頻率，γ為幅值，μ為[0,1]間的常數(shù)。與Liao[36]不同，上述變換中引入了新的參數(shù)γ和μ，其中γ未知。在該變換

9、下，方程變?yōu)椋?-μ）（ω2y"+y）+μω（γ2y2-1）y'=0，滿足條件y(0)=y(2π)，y(0)=1，y'(0)=0.
　　 應(yīng)用同倫分析方法求解非線性問題時，首先要確定三個要素，即解的基函數(shù)表達、線性算子、初始解?？紤]到周期邊界條件，我們選取如下的基函數(shù){cosmξ，sinmξ，m≥1}，并且將方程的解表為y(ξ)=a0++∞∑m=1amcosmξ++∞∑m=1bmsinmξ，其中a0，am和bm為系數(shù)。我們選取如

10、下的初始解y0(ξ)=cosξ，和輔助線性算子(c)[(φ)(ξ;q)]=(e)2(φ)/(e)ξ2+(φ)，在確定了上述三要素之后，后續(xù)的求解過程大抵相似。我們在第二章中給出了詳細的同倫分析求解過程，在此不贅述。我們將本文的計算結(jié)果與Liao[36]中的結(jié)果作比較。在文獻[36]中，對于0＜∈＜3.75的取值范圍，為了得到收斂的結(jié)果，|(h)|的取值很小，為1/10（i.e.(h)=-1/10），但本文的工作顯示，對于該區(qū)間，(h)=

11、-1/7仍能得到收斂的結(jié)果。同時，所需的級數(shù)解的階數(shù)也降低了。例如對于(ε)=1的情況，可以在|(h)|較大時，取20階近似就能獲得吻合很好的逼近。一般來講，(h)的收斂區(qū)域越大，說明解的收斂性越好。而對于非線性較強的問題，(h)的收斂區(qū)間往往較小。注意到(h)的值依賴于μ的值，我們給出如下的關(guān)系(h)=-1/1-a(ε)，(ε)=μ/1-μ，這里a為負實數(shù)。當|a|增大時，|(h)|的值減小，從而(ε)的收斂區(qū)域擴大。
　　

12、本文的結(jié)果表明，通過新的變換，可以增強級數(shù)解的收斂性。同時還給出了(h)與μ(or(ε))的關(guān)系，通過這一關(guān)系，我們可以方便地獲得使得級數(shù)收斂的(h)值。
　　 2.2、Rayleigh方程和推廣的VanderPol方程
　　 如前所述，同倫分析方法的過程包括線性算子、基本解和初始猜測等三個要素的選取。當然，這些要素之間也有關(guān)聯(lián)，并且有一定的自由度。對于同樣的問題，不同的選擇會有不同的收斂性。論文第三章通過兩個例子，即R

13、ayleigh方程和推廣的VanderPol方程，討論了不同的線性算子對解的收斂性的影響。
　　 我們考察了如下的推廣的VanderPol方程x"+(ε)(x2-1)x'+x2m+1/2n+1=0，和Rayleigh方程x"+(ε)(x'2-1)x'+x=0，其中m，n∈N，(ε)＞0。由于這兩個方程的求解方法相似，本文只討論Rayleigh方程的同倫分析解法，而對推廣的VanderPol方程的求解不再贅述。但是在結(jié)果分析部分，

14、我們都作了討論。下面簡述Rayleigh方程的同倫求解過程。
　　 引入如下的變換x(t)=γy(ξ)，ξ=λt，ω=κλ，μ=(ε)/1+(ε)其中ω為頻率，γ為振幅，λ為時間尺度參數(shù)，μ為[0，1）間的常數(shù)。該變換將方程變?yōu)?1-μ)(λ2y"+y)+μλ（γ2λ2y(r)2-1）y'=0，并滿足如下條件y(0)=1，y'(0)=0.
　　 選用如下的基函數(shù){cos(κmξ),sin(κmξ),m≥1，κ≥1}，則R

15、ayleigh方程的解可表為y(ξ)=+∞∑m=1amcosκmξ++∞∑m=1bmsinκmξ,這里am、bm均為系數(shù)。線性算子為(c)[(φ)(ξ;q)]=(e)2(φ)/(e)ξ2+κ2(φ)，初始解為y0(ξ)=cosκξ.注意到，在上述線性算子中包含有κ，是一個正整數(shù)。改變κ，我們就得到不同的線性算子。同時，基函數(shù)里也包括κ，即意味著我們也可通過改變κ的值，來選取不同的基函數(shù)。
　　 詳細的計算過程見第三章。這里我們簡

16、單地對計算結(jié)果進行分析。針對VanderPol方程，我們考察了m=4，n=l，μ=1/2情形下κ對級數(shù)解收斂性的影響。圖3.1示出了所謂(h)曲線，可以看出，對應(yīng)于κ=3時的(h)的收斂區(qū)間（-5＜(h)＜0）要遠遠大于κ=1時的(h)收斂區(qū)間（-0.8＜(h)＜0）。這說明κ=3時的收斂性要好。圖3.2和3.3分別給出了κ=1和κ=3時的原方程的誤差曲線。顯然，κ=3時的誤差要小的多，此時，低階近似就有足夠的精確性。
　　 針

17、對Rayleigh方程的分析，也可得出同樣的結(jié)論。表3.1和表3.2對μ=1/2的情形作了比較。可以看出，若取κ=9，僅僅10階近似就足夠準確。同樣的精度在κ=1下需要20階近似才能達到。表3.3和表3.4對μ=2/3和3/4的情況也作了計算。可以看出，κ=3時的結(jié)果和同倫—佩德（homotopy-Pade）加速收斂技術(shù)的結(jié)果極為接近，而κ=1時的結(jié)果則較差。這些比較表明，線性算子（或基函數(shù)）的選擇，對級數(shù)解的收斂性確實有很大的影響。在

18、應(yīng)用同倫分析方法時，我們應(yīng)該嘗試不同的選擇，來獲得解的較優(yōu)近似。
　　 2.3、Thomas-Fermi方程
　　 同倫分析方法還給我們提供了初始解選取的自由性。通過不同的選擇，我們也可以找到一個較好的初始解，使得級數(shù)解在較低的階數(shù)下就能收斂。我們以Thomas-Fermi方程為例u"(x)=√u3(x/x)，滿足如卞的邊界條件u(0)=1，u(+∞)=0.令u'(0)=1/γ，并引進變換u(x)=1/γg(ξ)，ξ=1

19、+λx，其中λ，γ均為待定常數(shù)。該變換將方程變?yōu)椋é?1）λ3γ[g"(ξ)]2-g(ξ)]3=0，邊界條件變?yōu)間(1)=γ，g'(1)=1/γ,g(∞)=0.
　　 考慮到邊界條件和u(x)的物理意義，我們選用如下的基函數(shù){ξ-m，m≥1}，將解表達為g(ξ)=+∞∑m=1amξ-m，這里am為系數(shù)。輔助線性算子為(c)[(φ)(ξ;q)]=ξ(e)2(φ)/2(e)ξ2+(e)(φ)/(e)ξ.對于本問題，我們?nèi)∪缦碌某跏冀?/p>

20、g0(ξ)=（1/λ+2γ）ξ-1-（1/λ+γ）ξ-2.注意到上式中含有λ，γ兩個參數(shù)，通過改變它們可以獲得不同的級數(shù)解。這里，我們不是通過嘗試一系列參數(shù)值，而是通過使原方程的誤差取極小值的辦法來獲得最優(yōu)的λ，γ值。
　　 Liao[18，19]以不同的初始解求解過Thomas-Fermi方程，Kobayashi也以數(shù)值方法求解了該問題。本論文將計算結(jié)果與他們的結(jié)果作了比較，如圖4.1、表4.1和4.2所示。從圖4.1可以看出

21、，本文的結(jié)果u(x)與Liao的結(jié)果在x的很大范圍內(nèi)吻合，但u'(0)的結(jié)果比Liao[18，19]結(jié)果更加接近于Kobayashi的數(shù)值解（見表4.1，4.2）。這說明，解的收斂性也可在一定程度上通過選取不同的初始解來加以改善。
　　 2.4、SIR和SIS傳染病模型
　　 第五、六章研究了生物學中的疾病傳播的SIR和SIS模型。該模型是非線性方程的初值問題，由Kermack和McKendrick首次給出[58]。傳染

22、病學是生物學的一個分支，是研究疾病傳播的一門科學。該領(lǐng)域的許多問題都可以微分方程模型來描述。據(jù)我們所知，最早的傳染病數(shù)學模型由D.Bernoulli于1760年給出。但是僅僅從Kermack和McKendrick的開創(chuàng)性工作以來，數(shù)學傳染病學才獲得了快速發(fā)展。已經(jīng)發(fā)展出了許多疾病傳染的數(shù)學模型，其中最著名的即是SIR和SIS模型。
　　 醫(yī)學科學的發(fā)展已經(jīng)能夠有效地預(yù)防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發(fā)或流行，危害人們的

23、健康和生命。社會、經(jīng)濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是:傳染者的數(shù)量及其在人群中的分布、被傳染者的數(shù)量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。一般把傳染病流行范圍內(nèi)的人群分成三類:S類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸后容易受到感染;Ⅰ類，感病者(Infective)，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員;R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病愈而具有免疫力的人。

24、
　　 大多數(shù)傳染病如天花、流感、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)。假設(shè)總?cè)藬?shù)不變，人群分為健康者、病人和移出者三類，這種模型稱為SIR模型。有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以這個模型稱為SIS模型。
　　 關(guān)于SIR模型和SIS模型，已有許多研究。許多學者運用

25、各種工具，如穩(wěn)定性分析、分叉理論、Lyapunov方法、Poincare和Bendixson定理、指標和拓撲概念等應(yīng)用于生物學的研究中來，取得了豐碩的成果。但據(jù)我們所知，目前沒有人給出過該模型的解析解(Singh[73])。
　　 第五、六章的研究興趣在于獲得SIR和SIS模型的級數(shù)解析解上。應(yīng)用同倫分析方法，我們成功地獲得了SIR模型和SIS模型收斂的級數(shù)解。我們的結(jié)果與Singh的定性分析相吻合，也與數(shù)值計算結(jié)果相吻合。

26、r>　　 經(jīng)典的SIR模型由Kermack-Mckendrick給出如下[58]s'(t)=-rs(t)i(t)，i'(t)=rs(t)i(t)-αi(t),該方程滿足如下的初始條件s(0)=S0，i(0)=I0，其中α＞0，r＞0，I0＞0，S0＞0。這里r為Lotka-Volterra相互作用項的感染系數(shù)，α為恢復(fù)系數(shù)。令I(lǐng)∞=i(+∞)，S∞=s(+∞)，仔細觀查上述方程，我們可以看出I∞=0，且有S∞-α/rlnS∞=S0+I

27、0-α/rlnS0.從上述公式，對于給定I0和S0，我們可以得到S∞。從SIR模型中我們還可以得到，i'(0)=I0(rS0-α)，s'(0)=-rS0I0.因此，若rS0/α＞1，i(t)的值在最初的階段呈增加的趨勢，但由于s(t)是一個遞減函數(shù)，從而一段時間后，i(t)的值也將遞減。
　　 SIS模型由如下方程描述[58]s'(t)=-rs(t)i(t)+γi(t)，i'(t)=rs(t)i(t)-γi(t),滿足初始條件，

28、i(0)=I0，s(0)=S0，其中r＞0，I0＞0且S0＞0。同樣S+I=k，這里k總?cè)丝跀?shù)量。SIS模型于SIR模型的不同在于移出者又以iγ的速率返回到易感者中來，這里γ為恢復(fù)系數(shù)。
　　 分析SIS模型，我們可得到如下的定性結(jié)論:如果rk/γ＜1則有I(∞)=0，S(∞)=k;反之，如果rk/γ＞1，則有I(∞)=k-γ/r，S(∞)=γ/r.這意味著若rk/γ＜1，感染者將消失;若rk/γ＞1，感染將持續(xù)。傳染病學主要感

29、興趣后一種情形。
　　 詳細的求解過程見第五、六兩章。這里我們僅指出，所選用的線性算子(c)u=u'(t)+βu(t)包含有參數(shù)β，通過改變它的值，可以提高級數(shù)解的收斂性。文中是通過使剩余誤差減小最快的方式來確定最優(yōu)的β值。
　　 我們給出了不同參數(shù)取值情況下的計算算例。結(jié)果表明，本文的計算結(jié)果與定性分析結(jié)論符合，且與數(shù)值計算結(jié)果吻合很好。特別值得指出的是，我們以一個實際發(fā)生過的病例數(shù)據(jù)來檢驗我們的分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)我們的結(jié)

30、果也可以很好地模擬實際病例的發(fā)展演化過程。因此，我們不僅首次給出了SIR、SIS方程的解析近似解，而且也為生物數(shù)學中的傳染病學提供了實際分析預(yù)測應(yīng)用工具。
　　 2.5、時滯Logistic模型
　　 非線性時滯微分方程出現(xiàn)在許多領(lǐng)域。當一個系統(tǒng)的演化不僅依賴于當前的狀態(tài)，而且還依賴于過去的歷史，這時描述系統(tǒng)的方程將會出現(xiàn)時滯項。時滯微分方程的研究較非時滯問題更加復(fù)雜。人口動力學、流行病學、生理學、免疫學、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)濟

31、學，乃至飛機、船舶或海洋平臺等的操縱控制等領(lǐng)域經(jīng)常能碰到時間滯后問題。比如，近年來在海洋工程中，利用主動控制來減輕平臺在環(huán)境荷載作用下的振動顯得日趨重要[70]。然而在實施實時控制時，由于數(shù)據(jù)處理、在線計算和控制力施加都需要時間，因此在主動控制實施的過程中總是存在著不同程度的時滯。時滯使得被調(diào)量不能及時反應(yīng)控制信號的動作，當受控對象受到干擾而引起被調(diào)量改變時，控制器產(chǎn)生的控制作用不能立即對干擾產(chǎn)生抑制作用?？刂屏Φ牟煌綄嵤?，不僅降低控

32、制系統(tǒng)的減振性能，而且有時會使動力系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。再如，在疾病演化動力學中，當前病毒數(shù)量水平就依賴于過去一段時間的狀態(tài)。在這類問題中，通常的微分方程就會失效，而必須應(yīng)用時滯微分方程來描。在生態(tài)學的研究中，考察生物種群數(shù)量的發(fā)展已經(jīng)成為一個重要的課題，而在種群發(fā)展的系統(tǒng)中時滯的影響是常常存在的。
　　 上世紀80年代，學者們就已經(jīng)提出了幾個時滯問題模型，如Bushenber-Coke模型[72](1980)、Hethcote模型[

33、60](1981)。Lenoid[74]對于人口動力學建立了幾個振蕩和非振蕩條件。據(jù)我們所知，目前處理時滯微分方程主要依賴于數(shù)值方法。應(yīng)用解析方法研究的很少(Brauer[77])。Baker[75]等詳細討論了為什么在某些情況下DDE比ODE更重要，并給出了一些處理DDE問題的數(shù)值方法。
　　 本論文研究了同倫分析方法在時間滯后問題上的應(yīng)用。所研究的問題為時滯Logistic模型i'(t)=ri(t)[1-i(t-(τ)/κ)

34、]，滿足如下的初始條件i(t)=α，-(τ)≤t≤0.這里r和κ為非負的已知數(shù)，(τ)為延遲時間。
　　 我們首次給出了該模型的解析近似解，并詳細討論了時間延遲(τ)對i∞的影響。給出了臨界的時間延遲(τ)*的范圍。并指出，若(τ)＜(τ)*，則i∞→κ，若(τ)＞(τ)*，則i∞→0。一般來講，時間滯后方程的解是分段光滑的函數(shù)，為了克服符號計算方法處理這類函數(shù)的困難，我們定義了函數(shù)δ*(t)(式7.2.23)，這樣我們就能應(yīng)用

35、同倫分析方法獲得高階近似，為DDE方程的求解提供了一條新的途徑。
　　 3.論文的創(chuàng)新點
　　 本論文首次全面地、詳細地討論了新的變換、解表達、線性算子以及初始解對級數(shù)解的收斂性的影響，指出在求解某些強非線性問題時，我們可以利用同倫分析方法的靈活性，作出某些較優(yōu)的選擇，以改善解的收斂性，使得低階近似就有足夠的精確度。我們以非線性力學中的幾個著名問題論證了我們的論點。
　　 我們首次將同倫分析方法應(yīng)用于數(shù)學生物學中

36、的傳染病模型的研究，首次獲得了SIR、SIS模型的解析近似解。由于以往的研究主要依賴于數(shù)值解，本文的工作則在解析方法上為這類問題提供了新的途徑。通過與數(shù)值解或其他研究者的結(jié)果相比，證明了本文方法的正確性。特別指出的是，本文中給出的SIR模型的解析解可以很好地模擬實際發(fā)生過的傳染病例，因此本文的方法也給傳染病的預(yù)測與防治提供了實際應(yīng)用工具。
　　 我們首次將同倫分析方法應(yīng)用于時間滯后問題上，給出了時滯Logistic模型的解析近似