抽象代數習題

1、11.〈1，2，3，4，5〉和〈0，1，2，3，4〉是否同構？2.代數結構〈I，〉與〈N，〉是否同構？3.設X為集合，證明〈P（X），∩〉與〈P（X），∪〉是同構的。4.求出〈N6，6〉的所有自同態(tài)。1.給定代數結構〈I，，〉，定義I上的二元關系R為：iRj當且僅當|i|=|j|關于加法運算，R是否具有代換性質？對于乘法運算呢？2.設R是N3上的等價關系。若R關于3具有代換性質，則R關于3也一定具有代換性質。求出N3上的一個等價關系S，

2、使其關于3具有代換性質，但關于3不具有代換性質。3.試確定I上的下述關系R是否為〈I，＋〉上的同余關系：a)xRy當且僅當(x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)；b)xRy當且僅當|xy|＜10；c)xRy當且僅當(x=0∧y=0)∨(x≠0∧y≠0)；d)xRy當且僅當x≥y。第二章2.在以下給出的N上的關系R中，哪些是么半群〈N，〉上的同余關系？對于同余關系求出相應的商么半群。a)aRb當且僅當a－b是偶數。b)aRb當且僅當a＞b

3、。c)aRb當且僅當存在r∈I使a=2rb。d)aRb當且僅當10整除a－b。3.設〈S，〉是半群，a∈S，在S上定義二元運算如下：xy=xay，x，y∈S證明〈S，〉也是半群。4.設〈M，〉是么半群且＃M≥2。證明M中不存在有左逆元的左零元。5.設，為矩陣的乘法運算。證明：????????????????????????????RaaTRbabaS|000|001)〈S，〉為么半群；2)〈T，〉為么半群；3)〈T，〉是〈S，〉的子半群

4、，但〈T，〉不是〈S，〉的子么半群。9.試證明每個有限半群至少有一個冪等元素。定理定理2.2.5設〈G，〉為群。若k∈I且a∈G的階為n，則ak=e當且僅當n｜k。定理定理2.2.6設〈G，〉為群且a∈G。若k∈I且a的階為n，則ak的階為n（k，n）。推論推論設〈G，〉為群。若a∈G，則a與a－1的階相同。3b)〈N5，5〉；c)〈N7－0，7〉；d)〈N11－0，11〉。2.求下列各群上的自同態(tài)。1)〈N8，8〉；2)〈N6，6〉；

5、3)〈N5－0，5〉；4)〈N7－0，7〉。3.設f是群〈G1，〉到〈G2，〉的群同態(tài)，a∈G1。a與f(a)的階一定相同嗎？證明你的斷言。4.設H1和H2是群G的子群，證明H1∩H2也是G的子群。H1∪H2是G的子群嗎？證明你的斷言。5.設H是群G的非空子集，并且H中每個元素的階都有限，則H為G的子群的充分必要條件是H關于G的乘法封閉。6.設f和g均為群G1到G2的群同態(tài)，令H=a∈G1|f(a)=g(a)證明H是G1的子群。7.設G

6、是群，H和K是G的子群。a)HK和KH必為G的子群嗎？試證明或給出反例；b)HK是G的子群，當且僅當HK＝KH。8.設〈G，〉是群，令C(G)=x∈G|若y∈G，則xy=yx證明C(G)是G的子群。C(G)稱為群G的中心。9.設H為群G的子群，a∈G，令aHa－1=aha－1|h∈H證明aHa－1是G的子群。aHa－1稱為H的共軛子群。10.設H為群G的子群，令N(H)=a∈G|aHa－1=H證明N(H)是G的子群。N(H)稱為H的正規(guī)

7、化子。11.群G的自同構是從G到G的同構。證明G的所有自同構的集合關于函數的合成運算構成群。12.設G是有限群，H是G的子群，a∈G。證明存在最小正整數m使am∈H，且m是a的階n的因子。13.設a是群G的階為n的元素，H是G的子群。證明：如果am∈H且(m，n)=1，則a∈H。2.求下列置換：a)????????13424321?????????12344321b)3136254654321????????c)(12345)(234)