常數紅利下帶稅收的最優(yōu)投資與再保險策略

1、ValueEngineering191常數紅利下帶稅收的最優(yōu)投資與再保險策略OptimalInvestmentandReinsuranceStrategywithTaxesundertheConstantDividendPolicy聶高琴NIEGao—qin(首都經濟貿易大學統(tǒng)計學院，北京100070)(SchoolofStatistics，CapitalUniversityofEconomicsandBusiness，Beijing1

2、00070，China)摘要：在常數邊界分紅策略及存在稅收的情形下，對于擴散風險模型，保險公司將盈余投資于無風險資產與一種風險資產，且通過比例再保險來分散風險，通過求解HJB方程，得到了最大期望折現紅利，最優(yōu)投資與再保險策略的顯示表達式。Abstract：Inthesituationofthepresenceoftaxandtheconstantdividendbarrier，forthediffusionriskmodel，insur

3、ancecompanyinvestsurplusinrisk—freeassetandariskyassetandspreadtheriskthroughtheproportionalreinsuranceweobtaintheclosed—formexpressionsofthemaximalexpecteddiscounteddividend，theoptimalinvestmentandreinsurancestrategybys

4、olvingtheHJBequation關鍵詞：邊界分紅；稅收；Hamilton—Jacobi—Bellman(HJB)方程Keywords：barrierdividend；tax；Hamilton—Jacobi—Bellman(HJB)equation中圖分類號：F83文獻標識碼：A文章編號：1006—4311(2015)O1—0191020引言自DeFinettibt1提出帶有分紅的二項風險模型后，關于分紅的保險風險模型，有大量文獻

5、對其進行了研究，如文獻[2—5]等。最近，林祥與楊鵬[61在擴散風險模型下研究了再保險及投資對紅利的影Ⅱ向，在最大化期望貼現紅利的目標下，得到了最優(yōu)策略及值函數的顯示表達式。但在其投資中，只有風險資產，沒有無風險資產。而在保險實務中，保險公司有一部分盈余會投資于無風險資產。本文在文獻[6]的基礎上，針對擴散風險模型，保險公司將盈余投資于無風險資產與一種風險資產，且購買比例再保險，另外，考慮到稅收的影響，我們將在存在稅收的情形下，研究常數

6、邊界分紅策略，為使期望貼現紅利最大化，其最優(yōu)的投資與再保險策略。1模型下文用(T表示向量的轉置，用表E()示隨機變量的數學期望。假設(t，tT是定義在完備概率空間(n，F，P，Fl。)上獨立的二維標準Brownian運動，其中Fl。是由(”t，：t)所產生的信息流。允許連續(xù)交易，不考慮交易費用，所有資產都是無窮可分的。設保險公司的盈余為X(t)=xctBW”(t)，t0(1)其中，X0是保險公司的初始盈余，c0是單位時間的保費率，B”(

7、t)表示隨機因素的干擾。保險公司購買比例再保險，其自留額為p0，若pl則表示保險公司承接了其他公司的再保險業(yè)務，此時，保險公司的盈余為：X(t，P)=xp(t)ctp(t)B”(t)，t0(2)假設保險公司投資的金融市場有一種無風險資產與一種風險資產，無風險資產在t時刻的價格B(t)滿足如下常微分方程dB(t)=rob(t)dt其中r0O為無風險利率，風險資產在t時刻的價格S(t)滿足如下隨機微分方程：dS(t)=S(t)(~dtcrd

8、W’(t))，t0基金項目：首都經濟貿易大學校級科研項目(2013XJQ015o作者簡介：聶高琴(1979一)，女，安徽安慶人，副教授，研究方向為保險數學與風險理論。tx0表示風險資產的期望收益率，盯O表示波動率。用Z(t)表示t時刻保險公司投資于風險資產的盈余額，則投資于無風險資產的盈余額為X(t，P)l(to另外，考慮到保險實務中稅收的存在，設稅收率為aOo在任意時刻，保險公司選擇比例再保險策略P(t)與投資策略z(t)，記()=(

9、p()，f())，當()確定時，則保險公司的盈余為x(t，叮T)：f(t)[x(t，叮T)一f(t)]r0dt一x(t，1r)dtltJdX(tgP)=it(t)(一r0)X(t，叮T)(roC~)p(t)c]dtp(t)pdW’(t)trl(t)dW(t)(3)且X(0，)=x。若P(t)與Z(t)是關于可料的，且滿足fr∞11)P(t)0；2)PI／2(t)dt0，即當盈余低于b時無紅利支付，一旦盈余高于b時，高出的部分全部作為紅利

10、支付。對t0，記D(t)為到時刻t為止支付的總紅利，則支付紅利后，t時刻保險公司的盈余為Xb(t，)=X(t，叮T)一D(t)(4)定義破產時刻為inft：X(t，1『)0表示紅利貼現率。對xO，用V(x，b)表示Dxb的數學期望，即(x，b)=E[DjbIX(0，)=x]，以下將尋找最優(yōu)投資與再保險策略，使(x，b)最大，即找到最優(yōu)的值函數V(x，b)=supV(x，b)及最優(yōu)策略E兒1T，使得V(x，b)=V(x，b)2主要結果由F

11、leming和SoneBn或Sehmidlit8~，易得以下定理192價值工程定理1：設V(X，b)是定義在x，xOl上的二次連續(xù)可微函數，則V(X，b)滿足以下HJB方程sutp(x，b)f(一r0)x(r『0【)pc】vx(x，b)SV(x，b)I01TEllLJOb(6)及邊界條件V(0，b)=0(7)I：l(8)dxIV(x，b)，V(x，b)分別表示V(x，b)關于x的一階與二階導數。采用文獻[7]或[8】的標準方法，可得如下

12、的檢驗定理定理2：設W(X，b)是定義在Ix，x01上的二次連續(xù)可微的凹函數，滿足HJB方程(5)和(6)以及邊界條件(7)和(8)，則值函數V(x，b)與W(x，b)是一致的，即V(x，b)=W(X，b)，且若滿足一(p2po2p)w(x，b)[f(p~ro)x(rooC)pc]W(x，b)一8W(xb)=O，0sxb，W(x，b)=x—bW(b，b)，xb，則’是最優(yōu)策略，即W(X，b)=V(x，b)V(x，bo由HJB方程(5)關

13、于Z求導得：(rlV(x，b)(r0)V(x，b)=o，則z一二蘭!(9)V(x，b)將(9)式代入(5)式，得到supIBp2V(x，b)pcV(x，b)P≥FOL二x()vb)制(x!b)：02、，(x，b)(10)由(10)式的一階條件知：p2pV(x，b)=cV(x，b)于是，p一!蘭!(11)p2v(x，b)當p0時，將(11)式代入(10)式，有爭[等]x(roc~)V5V(x，b)=0以下記△=[2(儀)28]。一l66(

14、r僅)，假設△≥0，結合邊界條件(7)與(8)，得到V(x，b)=b，K其中。k：!!!：蘭蘭：!!：莖蘭：妾L二!蘭)4【0【】(12)當pO時，p一’r黼，v(，b)：，。b其中，k由(12)式給出：當pb其中，m由(13)式給出。由定理3知，無風險利率r0及稅收率a對最優(yōu)策略P，f及最優(yōu)期望折現紅利V(x，b)均有影響。參考文獻：【1]DeFinettibSuunimpostazionealternativedellteoriac

15、olletivadel矗schio[J]TransactionsoftheXVInternationalCongressofActuaries，1957，2：433443[2]AsmussenS，TaksarMControlleddiffusionmodelsforoptimaldividendpayout[J]Insurance：MathematicsandEconomics，1997，20：1—15【3]LinXS，WillmotG

16、E，DrekicSTheclassicalriskmodelwithaconstantdividendbarrier【J]Insurance：MathematicsandEconomics，2003，33：551566[4]DieksonDCM，WatersIIRSomeoptimaldividendproblems[J]ASTINBulletion，2004，34：49—74【5]LiSLThedistributionofthediv

17、idendpaymentsinthecompoundPoissonriskmodelperturbedbydiffusion[J]ScandinavianActuarialJournal，2006，2：73—85[6】林祥，楊鵬擴散風險模型下再保險和投資對紅利的影響Ⅲ經濟數學，2010，27(1)：1—8[7]FlemingWH，SonerHMControlledmarkovpr0ce赫髓andviscositysolutions[M]