3.4 第2課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形1

1、3.4 圓周角和圓心角的關(guān)系 圓周角和圓心角的關(guān)系第 2 課時(shí) 課時(shí) 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形 圓周角和直徑的關(guān)系及圓內(nèi)接四邊形1．掌握?qǐng)A周角和直徑的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用解決問題；(重點(diǎn))2．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析及理解問題的能力，經(jīng)歷猜想、推理、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，獲得正確的學(xué)習(xí)方式．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入你喜歡看足球比賽嗎？你踢過足球嗎？ 如圖②所示，甲隊(duì)員在圓心 O 處，乙隊(duì)員在圓上 C 處，丙隊(duì)員帶球突破防守到圓上 C 處，依然把球傳給

2、了甲，你知道為什么嗎？你能用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋一下嗎？ 二、合作探究探究點(diǎn)一：圓周角和直徑的關(guān)系【類型一】 利用直徑所對(duì)的圓周角是直角求角的度數(shù)如圖，BD 是⊙O 的直徑，∠CBD＝30°，則∠A 的度數(shù)為( )A．30° B．45° C．60° D．75°解析：∵BD 是⊙O 的直徑，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝

3、60°.故選 C.方法總結(jié)：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造直角三角形解題．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 3 題【類型二】 作輔助線構(gòu)造直角三角形解決問題如圖，點(diǎn) A、B、D、E 在⊙O上，弦 AE、BD 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) C.若 AB是⊙O 的直徑，D 是 BC 的中點(diǎn)．(1)試判斷 AB、AC 之間的大小關(guān)系，并給出證明；(2)在上述題設(shè)條件下，當(dāng)△ABC 為正三角形時(shí)，點(diǎn) E 是否

4、為 AC 的中點(diǎn)？為什么？解析：(1)連接 AD，先根據(jù)圓周角定理求出∠ADB＝90°，再根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)判斷；(2)連接 BE，根據(jù)圓周角定理求出∠AEB＝90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求解．解：(1)AB＝AC.證明如下：連接 AD，∵AB 是⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90°， 即 AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD 垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)當(dāng)△ABC 為正三角形時(shí)，E 是 AC的中點(diǎn)．理由如

5、下：連接 BE，∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠BEA＝90°，即相似三角形和三角函數(shù)的綜合如圖，四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O，AB 為⊙O 的直徑，點(diǎn) C 為 的中 BD ︵點(diǎn)，AC、BD 交于點(diǎn) E.(1)求證：△CBE∽△CAB；(2)若 S△CBE∶S△CAB＝1∶4，求 sin∠ABD 的值．解析：(1)利用圓周角定理得出∠DBC＝∠BAC，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等得出兩三角形相似，直接證明即可；(2)利用相似三角形的性質(zhì)面積比

6、等于相似比的平方，得出AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，再利用三角形中位線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識(shí)得出答案．(1)證明：∵點(diǎn) C 為 的中點(diǎn)，∴∠ BD ︵DBC＝∠BAC.在△CBE 與△CAB 中，∠DBC＝∠BAC，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB；(2)解：連接 OC 交 BD 于 F 點(diǎn)，則 OC垂直平分 BD.∵S△CBE∶S△CAB＝1∶4，△CBE∽△CAB，∴AC∶BC＝BC∶EC＝2∶1，∴AC＝4EC，∴AE∶

7、EC＝3∶1.∵AB 為⊙O 的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD∥OC，則 AD∶FC＝AE∶EC＝3∶1.設(shè) FC＝a，則 AD＝3a.∵F 為 BD 的中點(diǎn)，O 為 AB 的中點(diǎn)，∴OF 是△ABD 的中位線，則 OF＝ AD＝1.5a，∴OC＝OF12＋FC＝1.5a＋a＝2.5a，則 AB＝2OC＝5a.在 Rt△ABD 中，sin∠ABD＝ ＝ ＝ .ADAB3a5a35方法總結(jié)：圓內(nèi)接四邊形、圓周角等知識(shí)都是和角有