基于臨界點理論的兩類非線性問題解的存在性研究.pdf

1、基于臨界點理論,本文研究了兩大類非線性問題解的存在性,一類是哈密頓系統(tǒng)的周期解存在性問題,一類是橢圓形偏微分方程邊值問題解的存在性。具體來說,所得到的結(jié)果如下:
　　1.研究了超二次二階哈密頓系統(tǒng)給定周期問題。法國科學院院士Lions, Ekeland和Coti-Zelati在91年提出了一個公開問題:自然超二次條件是否充分保證哈密頓系統(tǒng)本身對于所有的T>0,哈密頓系統(tǒng)都存在T周期解。這一公開問題在很長時間內(nèi)都沒有解決,一個主要的

2、困難在于自然超二次條件下系統(tǒng)所對應(yīng)泛函不再滿足(尸.義)條件,不論是利用逼近方法還是應(yīng)用傳統(tǒng)的臨界點的方法,最后都需要額外的條件來恢復緊性信息。在本文中我們通過變換將問題轉(zhuǎn)化依賴于參數(shù)的形式,然后應(yīng)用Struwe技巧,就可以充分地利用問題本身結(jié)構(gòu)的信息,直接得到有界的(尸.義)序列,從而避開了增加條件獲得緊性的問題。盡管這一方法并不能完全地,但卻是在很大程度上回答了Lions-Ekeland-Zelati問題:即我們證明了在該條件下,對

3、于幾乎所有的T>0,哈密頓系統(tǒng)都存在T周期解。在此基礎(chǔ)上,我們提出兩個額外的條件,使得對于所有的『>0都存在T周期解。
　　研究了給定能量面上哈密頓系統(tǒng)周期解的存在性問題。Gluck和Ziller, Benci,以及Hayashi在八十年代各自使用完全不同的方法得到了在位勢函數(shù)二階可微的條件下解存在的結(jié)果,這里位勢函數(shù)二階可微對每種證明都是關(guān)鍵的,沒有這一條件將導致方法直接不可用。通過運用Struwe技巧,我們能夠在幾乎所有的能量

4、面上將這一條件減弱為一階可微。
　　通過變換和Struwe技巧來深入挖掘問題本身結(jié)構(gòu)信息以獲得緊性這種思路還可以用來處理次二次二階哈密頓系統(tǒng),以及超二次橢圓方程邊值問題。當位勢函數(shù)滿足自然次二次條件以及強制條件時,得到了哈密頓系統(tǒng)的周期解。在特殊的幾何區(qū)域一圓域上,在僅有自然超二次條件的情況下證明了橢圓型方程解的存在性。這兩個結(jié)果囊括了之前所有的結(jié)果。
　　2.研究了漸近線性的哈密頓系統(tǒng)非平凡周期解的存在性問題。因為所給的余

5、項增長條件較弱以及系統(tǒng)所對應(yīng)的泛函強不定,應(yīng)用Galerkin逼近方法,首先通過仔細估計逼近泛函在原點和無窮遠點增長的形態(tài)來計算逼近泛函的臨界群,然后綜合運用Maslov指標理論和Morse理論得到逼近泛函的臨界點,再證明這些臨界點構(gòu)成的逼近解序列存在收斂的子列,收斂的極限點即為系統(tǒng)的解。利用這一方法我們在漸近矩陣滿足多種扭轉(zhuǎn)條件時建立了存在性的結(jié)果。
　　3.研究了兩類離散二階哈密頓系統(tǒng)周期解存在的問題。首先討論了目前文獻尚未解

6、答的問題:離散二階哈密頓系統(tǒng)能否存在無窮多周期解。給出了位勢振蕩的條件,在這一條件和次線性的條件下,我們得到兩列無窮多解的存在性,其中一列是離散系統(tǒng)所對應(yīng)的泛函的局部極小點,另外一列是該泛函的極小極大型臨界點。然后研究了離散二階哈密頓系統(tǒng)強共振的情況。得到了至少兩個非平凡解的存在性,其中一個解是系統(tǒng)所對應(yīng)泛函的全局極小點,另外一個非平凡解是通過反證法得出的。
　　4.研究了以局部Lipschitz的函數(shù)F(x,i)為位勢的p(x)