具阻尼非線性雙曲型方程的初邊值問題.pdf

1、本文分四章：第一章為引言；第二章研究一類具阻尼非線性雙曲型方程的三維初邊值問題局部廣義解和局部古典解解的存在性和惟一性；第三章研究第二章所述問題整體解的第一個不存在定理，并舉出一個例子；第四章研究第二章所述問題整體解的第二個不存在定理. 具體情況如下：在第二章中我們研究如下的具阻尼非線性雙曲型方程utt+k1▽4u+k2▽4ut+▽2g(▽2u)=0，(x，t)∈Ω×(0，T)，(0.1)的具有邊界條件u=0，▽2u=0(x，t

2、)∈()Ω×(0，T)(0.2)和初值條件u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x)，x∈Ω(0.3)的初邊值問題，其中u(x，t)表示未知函數(shù)，Ω是RN(N≥2是自然數(shù))中具有光滑邊界()Ω的有界區(qū)域，k1和k2是兩個正常數(shù)，▽表示梯度算子，▽2=△表示Laplace算子，▽4=△2表示雙調和算子，g(s)是給定的非線性函數(shù)，下標t表示對t求偏導數(shù).在這一章我們先給出兩個引理，然后用Galerkin方法和緊性原理證明問題(0

3、.1)-(0.3)局部廣義解的存在性和唯一性，最后給出第三個引理，用同樣的方法證明該問題局部古典解的存在性和唯一性.主要結果如下： 定理1設g∈C4(R)，|g(s)|≤M1|s|p，|g'(s)|≤M2|s|p-1等和g″(0)=0，其中p≥2是自然數(shù)和M1，M2＞0是常數(shù).如果u0∈H6(Ω)和u1∈H4(Ω)，那么初邊值問題(1.1)-(1.3)存在唯一的局部廣義解u(x，t).定理2假定g∈C10(R)，|g(s)|≤M

4、1|s|p，|g'(s)|≤M2|s|p-1等.g(2l)(0)=0，l=1，2，3，4，其中p≥2是一自然數(shù)和M1，M2＞0是常數(shù).如果u0∈H12(Ω)和u1∈H10(Ω)，則初邊值問題(1.1)-(1.3)存在唯一局部古典解u(x，t).第三章利用凸性方法給出問題(1.1)-(1.3)的解在有限時刻爆破的充分條件.并舉出一個例子.主要結果如下： 定理3假設u0∈H2(Ω)，u1∈L2(Ω)，g(0)=0，G(△u0)∈L1

5、(Ω)并且存在常數(shù)β＞0，使得sg(s)≤2(2β+1)G(s)+2βk1s2，()s∈R，(0.4)其中G(s)=∫sg(T)dT.那么初邊值問題(1.1)-(1.3)的廣義解u(χ，t)或古典解u(χ，t)在下列條件之一成立時在有限時刻發(fā)生爆破：(1)E(0)＜0；(2)E(0)=0和2β∫Ωu0u1dx-k2‖▽2u0‖2＞0；(3)E(0)＞0，∫Ωu0u1dx＞0，‖▽2u0‖≠0和4β2(∫Ωu0u1dx)2-4β2E(0)

6、‖u0‖2-‖u0|4-2k2‖u0‖2‖▽2u0‖2-k22‖▽2u0‖4＞4β2k2E(0)‖▽2u0‖2,其中E(0)=‖u1‖2+k1‖△u0‖2+2∫ΩG(△u0)dx在第四章中，我們首先證明一個引理.然后討論初邊值問題(1.1)-(1.3)整體解的第二個不存在定理.主要結果如下：引理假定w(t)∈C[0，+∞)∩C2(0，+∞)并且滿足下面的常微分不等式(w)(t)+σ1(w)(t)+σ2w(t)≥σ3h(σ4w)，t＞0(

7、0.5)和條件w(0)=w0，(w)(0)=w1，(0.6)其中σ1，σ2≥0，σ3＞0，σ4＞0，w0＞0和w1＞0是常數(shù).若h(s)∈C2(R)是一滿足下面條件的偶和凸的函數(shù)(1)h(0)=0和σ3h(σ4w0)-σ2w0≥0；(2)當s→+∞時，h(s)增長得足夠快，使得當σ1＞0時積分B0=σ1∫+∞w0{w21+2∫yw0[σ3h(σ4s)-σ2s]ds}-1/2dy收斂，且B0＜1；當σ1≤0時，積分T5=∫∞w0{w21+

8、2∫yw0σ3h(σ4s)dx-σ2y2+σ2w20}-1/2dy(0.7)收斂.那么，當σ1＞0時，對有限時刻t1≤T4=-1/σln(1-B0)成立limt→t-1w(t)=+∞；當σ1≤0時，對有限時刻t2≤T5，成立limt→t-2w(t)→+∞，其中T5由(4.3)給出. 定理4假設u(x，t)是問題(1.1)-(1.3)的一廣義解或古典解并設下列條件成立：1)∫ΩZ(x)u0(x)dx=α1＞0和∫ΩZ(x)u1(x

9、)dx=α2＞0，其中Z(x)表示問題△Z+λZ=0，x∈Ω(0.8)在Dirichlet條件Z=0，x∈()Ω下的第一個特征函數(shù)，并令λ=μ是對應的第一個特征值；2)g(s)∈C2(R)是偶且凸的函數(shù)，g(0)=0和μg(μα1)-k1μ2α1≥0；3)當α→+∞時，g(s)增長得足夠快，使得積分B1=k2μ2∫+∞α1{α22+2∫y[μg(μs)-k1μ2s]ds}-1/2dy(0.9)收斂且B1＜1.那么對于t3≤T6=-1/k