一類非線性脈沖積微分方程及其最優(yōu)控制.pdf

1、微分方程作為一種工具在純理論科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域及其他許多領(lǐng)域都已得到廣泛應(yīng)用。我們知道這些系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來進(jìn)行描述。這些方程可以采取多種多樣的形式，比如常微分方程、泛函微分方程、積分微分方程、偏微分方程等。對于常微分方程的研究已經(jīng)比較成熟。對于偏微分方程等的研究，由于其變量的復(fù)雜性，研究起來比較困難。因此，我們試圖在一定的條件下，將偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為抽象空間(如Banach空間)中的常微分方程問題進(jìn)行研究。

2、這就是半群理論立足的基礎(chǔ)。半群研究的對象主要是以時(shí)間為參變量的發(fā)展方程的有關(guān)問題。比如研究發(fā)展方程解的存在性、唯一性、解對參數(shù)的連續(xù)依賴性和正則性等。由偏微分方程(或與常微分方程耦和)描述的動態(tài)系統(tǒng)(如熱力學(xué)及波動傳導(dǎo)、化學(xué)中的擴(kuò)散、彈性體的振動、各種場的運(yùn)動模型等等)，再提出使積分型泛函性能指標(biāo)取極大或極小的條件泛函極值問題(如時(shí)間，能量，二次型誤差最小等等)，從而產(chǎn)生了分布參數(shù)系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題。有些反映擴(kuò)散與遷移現(xiàn)象的數(shù)學(xué)問題，必

3、須用積分方程來解決，例如中子遷移理論中的一些問題等，從而產(chǎn)生了對積分方程的研究。此外，在對于一些現(xiàn)象的研究中，比如說人口在受到一些突變的條件如收成影響、疾病原因、移民因素，自然災(zāi)害等，研究人口的變化問題，這時(shí)就要考慮到這些突變條件所產(chǎn)生的瞬時(shí)擾動的問題，從而產(chǎn)生了對受控的非線性脈沖發(fā)展系統(tǒng)的研究。從前面的闡述可知，無論是在實(shí)際意義上還是在理論上，對于非線性脈沖積微分方程及受控系統(tǒng)的研究都是有必要和有意義的。 在有限維空間中對于脈

4、沖微分方程的研究，已有豐富的結(jié)果?？蓞㈤哣.Lakshmikantham，Tao.Yang等人的書(見[3]，[4])及相關(guān)的研究論文。例如可查閱Guo和Liu、Liu和willms的論文(見[7]，[21])。 自從上世紀(jì)末，人們開始討論無限維空間中的脈沖微分方程。特別是Ahmed討論了由脈沖微分方程所決定的系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題(見[10]，[11])。Xiang,Wei等人也繼續(xù)對半線性和強(qiáng)非線性系統(tǒng)及最優(yōu)控制進(jìn)行了研究，并取

5、得了一系列的結(jié)果。(見[14]，[15]，[16]，[17]) 雖然在文獻(xiàn)中有大量的文章研究有限維空間和無限維空間中的積微分方程，但對于帶無界算子的非線性脈沖積微分方程特別是最優(yōu)控制問題并未進(jìn)行系統(tǒng)的研究。本論文就是對這樣一類積微分方程進(jìn)行研究。討論其解的存在唯一性，更重要的是考慮了由非線性脈沖方程所決定的系統(tǒng)的Bolza問題，給出了最優(yōu)控制的存在性并導(dǎo)出了最優(yōu)控制存在的必要條件，這是最優(yōu)控制理論中核心而又有相當(dāng)難度的問題。

6、 本文主要是利用半群理論研究一類受控非線性脈沖積微分方程及其最優(yōu)控制問題。 (一)考慮Banach空間中非線性脈沖積微分方程： (Ⅰ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x)(t),(Gx)(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(ti)=Ji(x(tj)),i=1,2,3……n其中：D={t1，t2，……tn}，0＜t1＜t2＜……＜tn A是一個(gè)一般的C0半群{S(t))；t≥0}的無窮小生成元，G是

7、一個(gè)非線性積分算子(Gx)(t)=∫t0k(t，τ)g(τ，x(τ))dτ且△x(ti)=△x(tj+0)-△x(ti-0)=△x(ti+0)-△x(ti)表示x(t)在ti處的跳躍，Ji決定了在時(shí)間ti處的躍度。 我們研究系統(tǒng)(Ⅰ)解的存在唯一性，解的正則性等。給系統(tǒng)(Ⅰ)賦予一定的條件，比如f、g滿足局部Lipschz條件及線性增長條件等，我們討論了該系統(tǒng)解的存在唯一性，解的正則性。 (二)考慮其對應(yīng)的受控系統(tǒng)的最優(yōu)

8、控制問題。 容許控制集：Uad()Lp(I，Y)，Uad是非空，有界，閉和凸的。 狀態(tài)方程： (Ⅱ){(x)(t)=Ax(t)+F(t，x(t)，(Gx)(t)+B(t)u(t)，t∈(0，T]\Dx(0)=x0△x(t)=Ji(x(ti))，i=1,2，……n 目標(biāo)泛函： J(u)=∫T0l(t，xu(t)，u(t))dt+Ψ(xu(T))Bolza問題(P)：找一個(gè)u0∈Uad，使得(A)u∈