六維非線性系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)研究.pdf

1、非線性科學(xué)是自上世紀60年代以來，在各門以非線性為特征的分支學(xué)科的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展起來的一門研究非線性共性現(xiàn)象的基礎(chǔ)學(xué)科，被譽為上世紀自然科學(xué)的“第三次大革命”。非線性動力學(xué)系統(tǒng)理論把豐富的工程和物理內(nèi)容與近代數(shù)學(xué)的抽象方法有機地結(jié)合在一起，是古典力學(xué)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)表示形式。工程非線性系統(tǒng)中往往存在混沌運動，一些被認為是安全的實際工程系統(tǒng)中存在著平衡穩(wěn)態(tài)的混沌運動、混沌運動的瞬變過程以及不穩(wěn)定混沌運動的可能性。
　　 機械系統(tǒng)中許多問

2、題的數(shù)學(xué)模型和動力學(xué)方程往往都可以用高維非線性系統(tǒng)來描述。對于高維非線性動力學(xué)系統(tǒng)的研究來說，不僅理論方法上有困難，幾何描述和數(shù)值計算都有困難，因此，其系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究難度比低維非線性動力學(xué)系統(tǒng)要大得多。目前，國際和國內(nèi)關(guān)于高維非線性系統(tǒng)全局分叉和混沌動力學(xué)的理論方法研究的還不是很多，仍處于發(fā)展階段。如何全面系統(tǒng)地了解和掌握高維非線性系統(tǒng)的全局分叉和混沌運動學(xué)特性，是分析高維非線性系統(tǒng)動力學(xué)特性的難題，也是國際非線性動力學(xué)領(lǐng)域的前沿

3、研究課題。
　　 全局攝動方法和能量-相位法自從20世紀90年代被提出來以后，主要用于研究四維非線性系統(tǒng)的全局分叉和單脈沖及多脈沖混沌動力學(xué)。國際和國內(nèi)在四維非線性系統(tǒng)的全局分叉和單脈沖及多脈沖混沌動力學(xué)的研究方面已經(jīng)取得了一些成果，而對于六維非線性系統(tǒng)的全局分叉和單脈沖及多脈沖混沌動力學(xué)的研究還不多見。本文以四維非線性系統(tǒng)全局分叉和混沌動力學(xué)的研究結(jié)果為基礎(chǔ)，在六維相空間中改進和推廣了全局攝動方法和能量-相位法，首次利用這兩種

4、解析方法研究了具有實際工程應(yīng)用背景的幾個六維非線性系統(tǒng)，探索了這些系統(tǒng)中所存在的全局分叉和單脈沖及多脈沖混沌動力學(xué)特性，利用數(shù)值方法進行模擬驗證了理論分析的結(jié)果。
　　 本文主要的研究內(nèi)容包括以下幾個方面。
　　 1.研究了1∶2∶3內(nèi)共振情況下六維粘彈性傳動帶系統(tǒng)的同宿分叉現(xiàn)象和混沌動力學(xué)
　　 我們首先利用規(guī)范形理論和內(nèi)積法對粘彈性傳動帶系統(tǒng)的六維平均方程進行化簡，得到與原系統(tǒng)拓撲等價的較為簡單的規(guī)范形。在此

5、基礎(chǔ)上，應(yīng)用全局攝動方法對六維非線性系統(tǒng)進行攝動分析。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在小擾動情況下，系統(tǒng)存在連接同宿軌道的Shilnikov型單脈沖混沌運動。我們應(yīng)用擴展的能量-相位法同樣分析了這個六維非線性系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)特性，研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在著從不變流形的不動點出發(fā)，經(jīng)過n個跳躍以后，落點仍然位于該不動點收斂域內(nèi)的 Shilnikov型多脈沖軌道。數(shù)值模擬結(jié)果表明系統(tǒng)出現(xiàn)具有跳躍軌道的混沌運動，激勵f1和f2對粘彈性傳動帶系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為

6、具有顯著的影響。
　　 2.研究了1∶3∶3內(nèi)共振情況下的復(fù)合材料層合矩形板的混沌動力學(xué)
　　 應(yīng)用規(guī)范形理論對1∶3∶3內(nèi)共振情況下復(fù)合材料層合矩形板的六維平均方程進行化簡，得到較為簡單的規(guī)范形。在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用全局攝動方法研究了這個系統(tǒng)的同宿分叉和Shilnikov型單脈沖混沌運動；應(yīng)用能量-相位法分析了系統(tǒng)的異宿分叉和Shilnikov型多脈沖軌道。應(yīng)用數(shù)值模擬進一步驗證了理論分析結(jié)果的正確性，數(shù)值結(jié)果表明系統(tǒng)存在

7、著單脈沖和多脈沖混沌運動，同時，我們還發(fā)現(xiàn)在一定的參數(shù)條件下，激勵f3對系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為有顯著的影響，系統(tǒng)響應(yīng)的變化過程呈現(xiàn)為混沌→周期→混沌→周期。
　　 3.利用能量-相位法對1∶2∶4內(nèi)共振情況下壓電復(fù)合材料層合矩形板的混沌動力學(xué)進行研究
　　 應(yīng)用規(guī)范形理論對1∶2∶4內(nèi)共振情況下壓電復(fù)合材料層合矩形板的六維平均方程進行化簡，得到與原系統(tǒng)拓撲等價的較為簡單的規(guī)范形。應(yīng)用擴展的能量-相位法研究了這個系統(tǒng)的復(fù)雜