常p-Laplacian系統(tǒng)周期解的存在性與多解性.pdf

1、本文主要考慮如下兩個(gè)p-Laplacian系統(tǒng)(P)與(P')
　　 (P){d/dt(|(u))t)|p-2(u)(t))=▽F(t，u(t))，a.e.t∈[0，T]，u(0)-u(T)=(u)(0)-(u)(T)=0，
　　 其中T＞0，p＞1，F(xiàn)：[0，T]×RN→R滿(mǎn)足如下假設(shè)
　　 (A)對(duì)所有的x∈RN，F(xiàn)(t，x)關(guān)于t可測(cè)；對(duì)幾乎處處的t∈[0，T]，F(xiàn)(t，x)關(guān)于x連續(xù)可微；存在a∈C(R十

2、，R+),b∈L1(0，T；R+)使得對(duì)所有的x∈RN與幾乎處處的t∈[0，T]滿(mǎn)足
　　 |F(t，x)|≤a(|x|)b(t)，|▽F(t，x)|≤a(|x|)b(t)，
　　 其中R+是所有非負(fù)實(shí)數(shù)的集合.
　　 (P'）d/dt(|(u)(t)|p-2(u)(t))=▽F(t，u(t))，a.e.t∈R，其中p＞2，F(xiàn)：R×RN→R，F(xiàn)(t，x)=G(x)+H(t，x)關(guān)于t是T周期的并且滿(mǎn)足上面的假設(shè)(

3、A).
　　 本文用臨界點(diǎn)理論首先討論系統(tǒng)(P)周期解的存在性與多解性問(wèn)題，然后討論系統(tǒng)(P')次調(diào)和解的存在性問(wèn)題.主要結(jié)果如下
　　 定理1假設(shè)F滿(mǎn)足(A)和以下條件
　　 (F1)當(dāng)序列{un}(∪)WT1,p滿(mǎn)足||un||→∞和|(u)n|T1/p/||un||→1時(shí)，就一定滿(mǎn)足不等式
　　 liminfn→∞∫0T(▽,un(t)),(un)/|(u)n|)dt＜0，
　　 (F2)對(duì)

4、幾乎處處的t∈[0，T]，liminf|x|→∞F(t,x)/|x|p-1＞-1/p1/Cp一致地成立.則系統(tǒng)(P)在空間W1T,p中至少存在一個(gè)解.其中
　　 Cp=sup{||u||pLp|u∈(W)1T,p，|(u)||pLp=1}，
　　 W1T,p,p={u：[0，T]→RN|u絕對(duì)連續(xù)，u(0)=u(T)且(u)∈Lp(0，T；RN)}是一個(gè)自反的一致凸Banach空間，其上的泛數(shù)為
　　 ||u||

5、=(∫0T|u(t)|pdf+∫0T|(u)(t)|pdt+∫0T|(u)(t)|pdt)1/p，
　　 并且(u)=1/T∫0T u(t)dt.
　　 定理2假設(shè)F滿(mǎn)足(A)和以下條件(F3)對(duì)幾乎處處的t∈[0，T]，liminf|x|→∞F(t,x)/|x|p≥0一致地成立，(F4)當(dāng)序列{un}(∪)WT1，p滿(mǎn)足||un||→∞和|(u)n|T1/p/||un||→1時(shí)，就一定滿(mǎn)足不等式
　　 limn

6、→∞∫0TF(t,un(t))dt=+∞，
　　 則系統(tǒng)(P)在WT1,p中至少存在一個(gè)解.
　　 定理3在定理2的條件下，假設(shè)F還滿(mǎn)足如下條件
　　 (F5)存在一個(gè)常數(shù)δ＞0使得-1/p1/Cp|x|p≤F(t，x)≤0對(duì)所有的|x|≤δ和幾乎處處的t∈[0，T]都成立.
　　 則系統(tǒng)(P)在WT1,p中至少存在三個(gè)解.
　　 定理4假設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿(mǎn)足(A)和如下條件

7、(F6)存在函數(shù)g∈L1(0，T；R+)使得
　　 |▽H(t，x)|≤g(t)
　　 對(duì)所有的x∈RN和幾乎處處的t∈[0，T]都成立，(F7)存在r＞0使得
　　 (▽G(x)-▽G(y)，x-y)≥-r|x-y|2
　　 對(duì)所有的x，y∈RN和幾乎處處的t∈[0，T]都成立，(F8)存在函數(shù)γ∈L1(0，T)使得
　　 F(t，x)≤γ(t)
　　 對(duì)所有的x∈RN和幾乎處處的t∈[

8、0，T]都成立，
　　 (F9)存在[0，T]中的子集E并且mea.s(E)＞0，使得當(dāng)|x|→∞時(shí)對(duì)幾乎處處的t∈E有F(t，x)→--∞.
　　 則對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，系統(tǒng)(P')存在kT-周期解uk∈W1kT,p，使得當(dāng)k→∞時(shí)有||uk||∞→∞，其中||uk||∞=max0≤t≤kT|uk(t)|，
　　 WkT1,p={u：[0，kT]→RN|u絕對(duì)連續(xù)，u(0)=u(kT)，且(u)∈Lp(0，kT；R

9、N)}是一個(gè)Sobolev空間，并且賦有范數(shù)
　　 ||u||(∫0kT|u(t)|Pdt+∫0kT|(u)(t))|Pdt),1/p.
　　 定理5假設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿(mǎn)足(A)，(F7)和如下條件(F10)存在函數(shù)f，g∈L1(0，T；R+)和常數(shù)α∈[0，p-1)使得|▽H(t，x)|≤f(t)|x|α+g(t)
　　 對(duì)所有的x∈RN和幾乎處處的t∈[0，T]都成立，(F11)當(dāng)|x|

10、→∞時(shí)，對(duì)幾乎處處的t∈[0，T]，|x|-qαF(t，x)→-∞一致地成立，其中α的定義與(F10)中一樣，且q=p/p-1.
　　 則對(duì)每個(gè)正整數(shù)k，系統(tǒng)(P')存在kT-周期解uk∈WkT1,p，使得當(dāng)k→∞時(shí)有||uk||∞→∞.
　　 定理6假設(shè)F(t，x)=G(x)+H(t，x)滿(mǎn)足(A)，(F7)，(F8)，(F10)和如下條件(F12)存在[0，T]中的子集E并且meas(E)＞0，使得當(dāng)|x|→∞時(shí)對(duì)幾