一類二階Hamiltonian系統(tǒng)及常p-Laplacian系統(tǒng)周期解和次調(diào)和解的存在性.pdf

1、考慮二階Hamilton系統(tǒng)(HS)｛-ü(t)=▽F(t,u(t))u(0)-u(T)=u(0)-u(T)=0其中T＞0，F(xiàn)：R×RN→R滿足條件：(A')F(t，x)對每個x∈RN關(guān)于t是以T為周期的，F(xiàn)(t，x)是RN+1到R上的連續(xù)函數(shù)，并且▽xF(t,x)=(()F/()x1，…，()F/()xN)∈C(RN+1,RN)本文利用臨界點理論中的極大極小方法及局部環(huán)繞定理研究了以上二階非自治哈密爾頓系統(tǒng)非平凡周期解的存在性，并得到

2、了一些新的可解性條件．主要定理如下： 定理1.設(shè)F滿足條件(A'),且滿足下面的條件：(F1)存在某正數(shù)r1及常數(shù)α＜2π2/T2，使得0≤F(t，x)≤α│x│2對RN中所有的│x│≤r1,t∈[0，T]都成立．(F2)存在常數(shù)β＞0，L＞0使得F(t，x)≥β│x│2對RN中所有的│x│＞L及t∈[0，T]都成立．(F3)存在常數(shù)μ＞2使得lim sup│x│→∞μF(t,x)-(▽xF(t,x),x)/│x│2≤0.則系統(tǒng)

3、(HS)至少有一個非平凡解。 定理2.設(shè)F滿足條件(A')，(F2)，(F3)，且滿足下面的條件；(F1')存在某正數(shù)η使當(dāng)│x│≤η時對一切t∈[0，T[有F(t，x)≤F(t，0)．則系統(tǒng)(HS)至少有一個非平凡解． 此外，我們還研究了如下更一般的常p-Laplace系統(tǒng)u(0)-u(T)=u(0)-u(T)]=0(OPS)｛-d/dt(│u(t)│p-2u(t))=▽F(t,u(t))其中P≥2，T＞0，F(xiàn)：[0，

4、T]×RN→R滿足上述條件(A')． 本文利用相應(yīng)空間的一致凸性及廣義山路引理，證明在超二次條件的假設(shè)下，緊性條件成立，從而可以獲得常p-Laplace系統(tǒng)周期解及次調(diào)和解的新的存在性條件．主要定理如下； 定理3.設(shè)F滿足條件(A'．假設(shè)(F4)對任意x∈RN，t∈[0，T]，都有F(t，x)≥0；(F5)存在r1＞0，α＜1/pC-pp，使得F(t，x)≤α│x│p對RN中所有的│x│≤r1，t∈[0，T]都成立，其中

5、Cp=sup(││u││Lp│││u││Lp=1，u=0)；(F6)存在常數(shù)β＞0，r2＞0使得F(t，x)≥β│x│p對RN中所有的│x│＞r2及t∈[0，T]都成立；(F7)存在常數(shù)μ＞P使得lim sup│x│→∞μF(t,x)-(▽xF(t,x),x)/│則系統(tǒng)(OPS)在W1,pT中至少有一個非平凡解． 定理4.設(shè)F滿足條件(A'),(F4)，(FT)．假設(shè)(F8)lim│x│→0 F(t,x)/│x│p=0對幾乎所有