空間和時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微分方程可以用來模擬工程，物理，生物等科學(xué)領(lǐng)域中的許多現(xiàn)象，然而分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值方法與理論分析是一項(xiàng)困難的事，其理論分析與經(jīng)典的數(shù)值方法之間有很大的差異.盡管現(xiàn)在大量的應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域中的許多工作已牽涉到用分?jǐn)?shù)階微分方程來描述動(dòng)力系統(tǒng)，非常少的文獻(xiàn)討論分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值方法，尤其是分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值方法. 本文考慮了Riesz空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程(RSFRDE)、時(shí)間分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程和帶阻尼項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程.

2、 第一章介紹了分?jǐn)?shù)階計(jì)算的發(fā)展歷史和現(xiàn)狀及目前所做的一些工作，同時(shí)給出有關(guān)分?jǐn)?shù)階計(jì)算的一些預(yù)備知識(shí). 第二章討論Riesz空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程.首先使用Laplace和Fourier變換獲得Riesz空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程在無窮區(qū)域上的基本解，其解用格林函數(shù)表示.由于分?jǐn)?shù)階微分方程的解是很難計(jì)算的，因此我們感興趣于發(fā)展分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值方法?？紤]了有界區(qū)域上的Riesz空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)-擴(kuò)散方程，直接利用二階中心離

3、散Riesz空間導(dǎo)數(shù)，由此建立了顯式和隱式的兩種差分格式，得出結(jié)論：顯式的格式是條件穩(wěn)定和條件收斂的，而隱式的格式是無條件穩(wěn)定和無條件收斂的，并且給出數(shù)值例子，與行方法的結(jié)果進(jìn)行比較，說明所采用的數(shù)值方法的計(jì)算有效性，這些方法可進(jìn)一步應(yīng)用到一般的分?jǐn)?shù)階問題.同時(shí)進(jìn)一步討論了有界區(qū)域內(nèi)含Dirichlet邊界的Riesz空間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)一擴(kuò)散方程，借助于Riemann-Liouville(R-L)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Griinwald-Letnik

4、ov(G-L)導(dǎo)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系，利用移位的G-L技巧建立顯式的差分格式，并且進(jìn)行了誤差估計(jì). 第三章討論了時(shí)間分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程，分別考慮了帶Dirichlet邊界條件，Neu-mann邊界條件，Robin邊界條件的三類非齊次時(shí)間分?jǐn)?shù)階電報(bào)方程，利用分離變量法得到了這三類方程的解析解.此解由多重Mittag-Leffler函數(shù)表示. 第四章討論了帶阻尼項(xiàng)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程，此方程是將經(jīng)典的帶阻尼項(xiàng)的整數(shù)階波動(dòng)方程中的二階