非線(xiàn)性微分方程（組）邊值問(wèn)題的解.pdf

1、非線(xiàn)性泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它為解決當(dāng)今科技領(lǐng)域中出現(xiàn)的各種非線(xiàn)性問(wèn)題提供了富有成效的理論工具.在處理實(shí)際問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的各種非線(xiàn)性積分方程和微分方程中發(fā)揮不可替代的作用. 本文第二章中，利用Krasnonel'skii's不動(dòng)點(diǎn)定理，結(jié)合Leray-Schauder度，研究非線(xiàn)性三階微分方程組邊值問(wèn)題{u″′i(t)=fi(t，u1(t)，u2(t)，…，un(t))，t∈[0，1]，u′i(0)=u″i(0)=u

2、i(1)=0，i=1，2，3，…，n.(1)常號(hào)解的存在性和多解性. 在本章中我們使用下面一些假設(shè)，其中θi∈{1，-1}，(K)={u∈B|θiui(t)≥0，t∈[0，1]，1≤i≤n}，K={u∈(K)|θjuj(t)＞0()t∈[0，1]，()j∈{1，2，3，…，n}=(K)\{0}.(C1)fi在[0，1]×(K)上連續(xù)，1≤i≤n并且θifi(t，u)≥0，(t，u)∈[0，1]×(K)；θifi(t，u)＞0，(

3、t，u)∈[0，1]×K.(C2)任給i∈{1，2，3，…，n}存在連續(xù)函數(shù)qi：[0，∞)→[0，∞)和連續(xù)增函數(shù)wij：[0，∞)→[0，∞)使得θifi(t，u)≤qi(t)wi1(|u1|)wi2(|u2|)…win(|un|)，(t，u)∈[0，1]×(K).(C3)存在α＞0，使得對(duì)任意i∈{1，2，3，…，n}使得α＞diwi1(α)wi2(α)…win(α)，其中di=supt∈[0,1]∫10Gi(t,s)qi(s)d

4、s,1≤i≤n.(C4)任給j∈{1，2，3，…，n}存在某一個(gè)i∈{1，2，3，…，n}(i依賴(lài)j)，使得θifi(t，u)≥τij(t)wij(|uj|)，(t，u)∈[1/4，3/4]×K，其中τij：[1/4，3/4]→(0,∞)是連續(xù)的. (C5)存在β＞0，對(duì)任意的j∈{1，2，3,…，n}存在某一個(gè)i∈{1，2，3，…，n}(i依賴(lài)j同(C4))滿(mǎn)足：β≤wij(1/4β)∫3/41/4Gi(σij，s)τij(s

5、)ds,σij∈[0，1]其中∫3/41/4Gi(σij，s)τij(s)ds=supt∈[0,1]∫3/41/4Gi(t，s)τij(s)ds. 主要結(jié)論：定理2.2.1設(shè)fi：[0,1]×Rn→R，1≤i≤n是連續(xù)的，如果存在不依賴(lài)λ的常數(shù)ρ＞0，使得方程組ui(t)=λ∫10Gi(t，s)fi(s，u(s))ds，t∈[0，1]，1≤i≤n，λ∈(0，1)，的任一解u∈(C[0，1])n，有‖u‖≠ρ.那么方程組(1)至少

6、有一解u*∈(C[0，1])n，并且‖u*‖≤ρ. 定理2.2.2如果(C1)-(C3)成立，那么方程組(1)有一常號(hào)解u*∈(C[0，1])n，并且滿(mǎn)足‖u*‖＜α及0≤θiu*i(t)＜α，t∈[0，1]，1≤i≤n. 定理2.2.3如果(C1)-(C5)成立，那么(1)有一個(gè)常號(hào)解u*∈(C[0，1])n并且滿(mǎn)足(a)若α＜β，則α＜‖u*‖≤β并且存在j∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θj

7、u*j(t)＞1/4α； (b)若α＞β，則β≤‖u*‖＜α并且存在j∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θju*j(t)＞1/4β. 定理2.2.4如果(C1)-(C5)成立，并且α＜β，那么(1)至少有兩個(gè)常號(hào)解u1，u2∈(C[0，1])n滿(mǎn)足0≤‖u1‖＜α＜‖u2‖≤β并且存在j∈{1，2，3，…，n}，使得mint∈[1/4,3/4]θju2j(t)＞1/4α.定理2.2.5如果(C1)-

8、(C5)和(C5)|β=(~β)成立，并且0＜(~β)＜α＜β.那么(1)至少有兩個(gè)常號(hào)解u1，u2∈(C[0，1])n滿(mǎn)足0＜(~β)≤‖u1‖＜α＜‖u2‖≤β，并且存在j，k∈{1，2，3，…，n}使得mint∈[1/4,3/4]θku1k(t)＞1/4(~β),mint∈[1/4,3/4]θju2j(t)＞1/4α. 定理2.2.6假設(shè)(C1)，(C2)和(C4)成立，并且當(dāng)α=αl，l=1，2，3，…，k時(shí)(C3)成立

9、，當(dāng)β=βl，l=1，2，3，…，m時(shí)(C5)成立. (a)如果m=k+1并且0＜β1＜α1＜…＜βk＜αk＜βk+1，那么(1)至少有2k個(gè)常號(hào)解u1，…，u2k∈(C[0，1)n使得0＜β1≤‖u1‖＜α1＜‖u2‖≤β2≤…＜αk＜‖u2k‖≤βk+1. (b)如果m=k并且0＜β1＜α1＜…＜βk＜αk，那么(1)至少有2k-1個(gè)常號(hào)解u1，…，u2k-1∈(C[0，1])n使得0＜β1≤‖u1‖＜α1＜‖u2‖

10、≤β2≤…≤βk≤‖u2k-1‖＜αk. (c)如果k=m+1并且0＜α1＜β1＜…＜αm＜βm＜αm+1，那么(1)至少有2m+1個(gè)常號(hào)解u0，…，u2m∈(C[0，1])n使得0≤‖u0‖＜α1＜‖u1‖≤β1≤‖u2‖＜α2＜…≤βm＜‖u2m‖＜αm+1. (d)如果k=m并且0＜α1＜β1＜…＜αk＜βk，那么(1)至少有2k個(gè)常號(hào)解u0，…，u2k-1∈(C[0，1])n使得0≤‖u0‖＜α1＜‖u1‖≤β1

11、≤‖u2‖＜α2＜…＜αk＜‖u2k-1‖≤βk. 本文第三章中考慮四階非線(xiàn)性邊值問(wèn)題{u(4)(t)+f(t，u′，u″)=0，0≤t≤1，u′(0)=u″(0)=u″(1)=0(2)解的存在性，在本章中總假定：f：[0，1]×R2→R是連續(xù)的，且存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)λ1，λ2，0≤λ1+λ2≤2，使得對(duì)()t∈[0，1]，u1≥u2，v1≥v2有f(t，u1，v1)-f(t，u2，v2)≥-λ1(u1-u2)-λ2(v1-v2).

12、(3) 主要結(jié)論：定理3.2.1若(2)有下解x和上解y，使得x″(t)≤y″(t)，()t∈[0，1]，則存在u∈C4[0，1]是(2)的解且u滿(mǎn)足x″(t)≤u″(t)≤y″(t)，t∈[0，1]. 推論3.2.2(1)如果min0≤t≤1f(t，0，0)≥0，并且存在c＞0，使得max0≤t≤1{f(t，u，v)：(t，u，v)∈[0,1]×[0，c]×[0,c]}≤12c，那么(2)有正解u*. (2)如

13、果max0≤t≤1f(t，0，0)≤0，并且存在c＞0,使得min0≤t≤1{f(t，u，v)：(t，u，v)∈[0，1]×[-c，0]×[-c，0]}≥-12c，那么(2)有負(fù)解u*. 本文第四章中考慮單邊Nagumo條件下四階微分方程邊值問(wèn)題{u(4)(t)=f(t，u′，u″，u′″)，0≤t≤1，u′(0)=0，u′″(0)=0，u′″(1)=0. (4)解的存在性，定理4.2.1若(4)有上解α，和下解β，使得

14、α″(t)≤β″(t)，()t∈[0，1].令E*={(t，x，y，z)∈[0，1]×R3：α′(t)≤x≤β′(t)，α″(t)≤y≤β″(t)}.f在[0，1]×R3→R連續(xù)在E*中滿(mǎn)足單邊Nagumo條件，并且f(t，α′(t)，y，z)≥f(t，x，y，z)≥f(t，β′(t)，y，z)()(t，y，z)∈[0，1]×R2其中α′(t)≤x≤β′(t).則(4.1.1)至少存在一個(gè)解u(t)∈C4([0，1])，并且u(t)滿(mǎn)足

15、α′(t)≤u′(t)≤β′(t)和α″(t)≤u″(t)≤β″(t)，()t∈[0，1]. 本文第五章中，利用上、下解方法，研究非線(xiàn)性三階微分方程{u′″(t)+f(t，u)=0，0≤t≤1，u′(0)=u(1)=u″(0)=0.(5)解與正解的存在性 主要結(jié)論是：定理5.2.1若存在c＞0，使得maxf[0，c]≤6c,并且inf0≤t≤lf(t，0)≥0，則問(wèn)題(5)有一個(gè)非負(fù)解u滿(mǎn)足‖u‖≤c. 定理5.

16、2.2若存在c＞0，使得maxf[-c，0]≥-6c，并且max0≤t≤lf[t，0]≤0，則問(wèn)題(5)有一個(gè)非正解u滿(mǎn)足‖u‖≤c. 定理5.2.3若存在c＞0，使得maxf[-c，c]≤6c，并且min0≤t≤lf[-c，c]≥-6c，則問(wèn)題(5)有一個(gè)解u滿(mǎn)足‖u‖≤c.此外若minf[-c，c]≥-6c并且min0≤t≤l|f(t，0)|＞0，則u≠0. 定理5.2.4如果liml→∞max0≤t≤lf(t,l)