無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性及其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、鐘萬勰院士將彈性力學(xué)與無窮維Hamilton算子相結(jié)合，提出了基于無窮維Hamilton系統(tǒng)的分離變量法，建立了彈性力學(xué)求解新體系，解決了許多實際問題.此方法的理論基礎(chǔ)是無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性問題，即辛本征函數(shù)系(辛正交系)的完備性問題.本文以無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的完備性問題為主題，圍繞著無窮維Hamilton算子理論開展了如下幾個方面的研究：l、無窮維Hamilton算子特(本)征函數(shù)系在Cauc

2、hy主值意義下的完備性問題；2、無窮維Hamilton算子的可逆性問題；3、無窮維Hamilton算子的半群生成問題；4、作為對無窮維Hamilton算子特征函數(shù)展開法的補充，本文還研究了基于上三角算子矩陣的特征函數(shù)展開法。
　　 首先，本文研究了彈性力學(xué)中對邊簡支邊界條件的矩形板方程的無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系，證明了該無窮維Hamilton算子廣義特征函數(shù)系在Cauchy主值意義下是完備的，但在一般意義下不完備，即

3、證明了辛正交系的完備性.進而給出了原方程的通解可按解函數(shù)系展開的定理，為此類方程應(yīng)用基于無窮維Hamilton系統(tǒng)的分離變量法求解提供了理論依據(jù).其次，研究了彈性力學(xué)中一邊簡支對邊滑支邊界條件的條形板方程的無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系，證明了該無窮維Hamilton算子廣義特征函數(shù)系在Cauchy主值意義下的完備性.進而，推導(dǎo)出了原方程的通解，并對該平面彈性問題指出了什么樣的邊界條件可按此方法求解.最后，研究了彈性力學(xué)中Kirc

4、hhoff矩形板的自由震動問題.根據(jù)已知結(jié)論，將Kirchhoff矩形板的振動方程等價地轉(zhuǎn)化為無窮維Hamilton系統(tǒng)，從而得到了相應(yīng)的無窮維Hamilton算子.證明了對邊簡支邊界條件的Kirchhoff矩形板振動方程的無窮維Hamilton算子特征函數(shù)系在Cauchy主值卷義下的完備性.進一步，通過計算推導(dǎo)出了對應(yīng)無窮維Hamilton系統(tǒng)的通解.通過Levy-型極為例說明，所得通解結(jié)合適當?shù)倪吔鐥l件可以推導(dǎo)出相應(yīng)的頻率方程和橫向

5、位移函數(shù)，并且指出了哪些邊界條件可以應(yīng)用此方法求解。
　　 在研究完備性過程中我們發(fā)現(xiàn)，許多無窮維Hamilton算子的特征函數(shù)系是否完備與相應(yīng)無窮維Hamilton算子是否可逆具有相關(guān)性.為了探索它們之間的內(nèi)在聯(lián)系及考慮到無窮維Hamilton算子可逆性本身的重要性，我們研究了一類無窮維Hamilton算子的可逆性.具體根據(jù)無窮維Hamilton算子的結(jié)構(gòu)特性，證明了一類無窮維Hamilton算子的點譜分布，進而給出了這類無窮

6、維Hamilton算子可逆的充要條件。
　　 無窮維Hamilton算子特征函數(shù)展開法，解決了許多實際問題.但是在研究完備性過程中，我們發(fā)現(xiàn)，有一些無窮維Hamilton算子的特征函數(shù)系是不完備的.對于這一類不能應(yīng)用辛特征函數(shù)展開法解決的問題我們有必要尋求其它解法.基于上述原因，本文又采用了兩種方法：第一種是在無窮維Hamilton系統(tǒng)的框架內(nèi)考慮了算子半群方法；第二種是在無窮維Hamilton系統(tǒng)的框架外考慮了上三角算子矩陣的

7、特征函數(shù)展開法.關(guān)于無窮維Hamilton算子的半群生成問題，應(yīng)用Hille-Yosida定理研究了無窮維Hamilton算子，得到了一個無窮維Hamilton系統(tǒng)初值問題解的存在性定理，并把結(jié)果應(yīng)用在由一類雙曲型偏微分方程導(dǎo)出的無窮維Hamilton系統(tǒng)中，給出了此類無窮維Hamilton系統(tǒng)解的存在性定理.對基于上三角算子矩陣的特征函數(shù)展開法，根據(jù)已有的研究結(jié)果，將應(yīng)力形式的二維彈性問題的基本偏微分方程組等價地轉(zhuǎn)化為上三角微分系統(tǒng)，

8、導(dǎo)出相應(yīng)的上三角算子矩陣.通過深入研究，在新的定義域中獲得了主對角線上兩個塊算子各自更為簡潔的正交特征函數(shù)系，并證明了它們在相應(yīng)空間中按Cauchy主值意義下的完備性.基于特征函數(shù)系的完備性，應(yīng)用特征函數(shù)展開法給出了該二維彈性問題的更為簡潔實用的一般解.此外，對該二維彈性問題，還指出了什么樣的邊界條件可以應(yīng)用此方法求解。
　　 本文為應(yīng)用基于無窮維Hamilton系統(tǒng)求解實際問題提供了一些理論基礎(chǔ)，為進一步研究無窮維Hamilt