基于小波求解偏微分方程數(shù)值解的研究.pdf

1、小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域,它在理論和應(yīng)用上都具有重要的意義.小波分析在數(shù)值分析上具有廣泛的應(yīng)用,應(yīng)用小波分析求解微分方程則是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的方向.
　　本文從小波分析的基礎(chǔ)理論和一些重要結(jié)論為入手點(diǎn),利用微分算子的緊支集小波表示并結(jié)合有限差分方法討論偏微分方程的數(shù)值解.另外還考慮了Haar小波在偏微分方程中的應(yīng)用.具體所做的工作和詳細(xì)的章節(jié)安排如下:
　　第一章介紹了小波分析的發(fā)展歷史及其在偏微分方程數(shù)值

2、解中的應(yīng)用.
　　第二章介紹了多分辨分析與Mallat算法等小波分析理論,給出了多分辨投影算子的逼近性定理的證明.
　　第三章總結(jié)了微分算子的小波表示的相關(guān)結(jié)論.
　　傳統(tǒng)的有限差分方法在求解復(fù)雜邊界偏微分方程時(shí)誤差較大.但目前提出的算法主要采用周期小波,對(duì)有界區(qū)域一般采用周期延拓來解決某些特定的問題.在第四章中,我們結(jié)合有限差分與微分算子的小波表示來求解偏微分方程,對(duì)偏微分方程的時(shí)間,空間分別采用有限差分和緊支集正交

3、小波進(jìn)行聯(lián)合近似求解,將方程的求解轉(zhuǎn)換到小波域中進(jìn)行,利用小波基的自適應(yīng)性與消失矩特性,使偏微分算子矩陣稀疏化,有效地改善了計(jì)算量.最后給出了兩個(gè)例子來說明該方法的有效性.
　　第五章主要針對(duì)正交多分辨分析下的Haar小波的性質(zhì)進(jìn)行討論,建立其相應(yīng)的算子矩陣.然后利用Haar小波和其算子矩陣求解非線性偏微分方程.小波的局部化特征使得Haar小波方法能精確分辨問題的解,同時(shí)可隨著尺度的增大,收斂速度的加快,從而更加有效地求解非線性偏