雅克比級數(shù)與函數(shù)的光滑性.pdf

1、本文的目的是利用Jacobi(雅克比)級數(shù)的Poisson積分在邊界處的漸近性態(tài)來刻劃函數(shù)的光滑性。 與Jacobi級數(shù)有關(guān)的函數(shù)理論是數(shù)學(xué)中的一個重要領(lǐng)域，相關(guān)問題的研究已取得了一些成果。一方面，其中的大部分問題是經(jīng)典函數(shù)理論的廣泛推廣，另一方面，在一些特殊參數(shù)下的模型又與李群和對稱空間上的分析問題密切相關(guān)。但是，與經(jīng)典Fourier分析相比，Jacobi級數(shù)理論中還有許多本質(zhì)的問題有待探討和研究；但由于Jacobi多項式的許

2、多基本性質(zhì)比三角多項式復(fù)雜得多，例如，各種有限求和，振蕩性，Poisson核與卷積運(yùn)算的復(fù)雜性等等，開展這一領(lǐng)域的研究會遇到許多實質(zhì)性困難。同時，由于Jacobi多項式參數(shù)變化的多樣性，會出現(xiàn)一些周期情況下難以發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，得到某些新型的結(jié)果。 在經(jīng)典Fourier級數(shù)理論中，一類著名的結(jié)果是利用Poisson積分在邊晃處的漸近性態(tài)來刻劃函數(shù)的光滑性，被稱之為Hardy-Littlewood和Zygmund理論.本文研究關(guān)于Jac

3、obi級數(shù)的Hardy-Littlewood和Zygmund理論，將關(guān)于經(jīng)典Poisson積分和函數(shù)光滑性特征的一些結(jié)論推廣到一般Jacobi級數(shù)的情況，其中函數(shù)的光滑性是借助于廣義平移算子Tt2和廣義差分算子Tt2來描述的。 文中首先在第二節(jié)中給出了Jacobi-Poisson積分的一些估計式，以及共軛Jacobi-Poisson積分和Jacobi-Poisson積分的范數(shù)在靠近邊界時漸近依賴關(guān)系；在第三節(jié)中，利用Jacobi

4、多項式的特征微分算子Dα，β對Jacobi-Poisson積分的作用給出了按照廣義平移Tt2f描述的Lipshitz函數(shù)的特征刻劃；在第四節(jié)中，利用Jacobi-Poisson積分的一階導(dǎo)數(shù)給出了按照廣義差分Tt2f描述的Lipshitz函數(shù)的特征刻劃。由于以(α，β)為參數(shù)的Jacobi多項式一階導(dǎo)數(shù)成為相應(yīng)于新的參數(shù)(α+1，β+1)的多項式，為克服由此帶來的困難，在第四節(jié)定義了一個新的算子Tt2。 本文的研究充分利用了Ja