一類Zygmund型函數(shù)類及其光滑性的研究.pdf

1、在Hardy空間有界函數(shù)的光滑性理論中，如果函數(shù)f(z)在單位圓盤內(nèi)解析的，那么函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)的平均增長(zhǎng)與其邊界函數(shù)f(iθe)的光滑性之間有著非常密切的關(guān)系.G.H Hardy，J.E Littlewood與A.Zygmund是研究Zygmund型函數(shù)類光滑性并得到經(jīng)典結(jié)論的數(shù)學(xué)家.隨后不久，人們又將Zygmund型函數(shù)類進(jìn)行類比推廣研究，這為Zygmund型函數(shù)類光滑性的研究展開了新的研究層面.近幾年，國(guó)內(nèi)外許多數(shù)學(xué)研究者對(duì)不同

2、空間領(lǐng)域上Zygmund型函數(shù)類的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣，并且已經(jīng)獲得了許多較為深刻的成果，本文在前人所做的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了Zygmund型函數(shù)光滑性的問(wèn)題，使得這類研究更加完善.
　　本文主要是在G.H Hardy和J.E Littlewood定義的Lipschitz函數(shù)類與Zygmund定義了類似Lipschitz函數(shù)族的函數(shù)類這兩類函數(shù)類的基礎(chǔ)上給出Zygmund型函數(shù)類的定義，并獲得了函數(shù)為Zygmund型函數(shù)類的充分必

3、要條件.
　　本文共分三章：其中，第一章，我們首先對(duì)本文所討論問(wèn)題的研究目的和意義進(jìn)行了介紹，其次簡(jiǎn)單敘述了Zygmund理論的研究背景和國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀，最后給出了這篇論文的主要結(jié)果.第二章主要介紹G.H Hardy，J.E Littlewood和A.Zygmund分別定義的3種不同的函數(shù)類，在3種不同函數(shù)類的基礎(chǔ)上定義Λp*函數(shù)類，結(jié)合3種不同函數(shù)類的Lipschitz性質(zhì)，并利用Lp函數(shù)類的單調(diào)性，給出當(dāng)p

4、*函數(shù)類之間以及Λp*與Λqα函數(shù)類之間的包含關(guān)系，最后給出一個(gè)具體的函數(shù)驗(yàn)證其是Λ*類函數(shù)而不是Λ1類函數(shù)，并結(jié)合3種不同函數(shù)類的定義給出函數(shù)f(z)是Λα數(shù)類的一個(gè)充分條件，即
　　函數(shù)f(z)在單位圓盤上是解析的，f(iθe)是連續(xù)的，并且
　　f(ei(θ+h))-2f(iθ)+f(ei(θ-h))≤Ahα,0<α<1，那么函數(shù)f(z)∈Λα.
　　第三章是介紹G.H Hardy，J.E Littlewood和

5、A.Zygmund對(duì)其分別定義的3種函數(shù)類在單位圓周上光滑性的刻畫,首先驗(yàn)證在3種不同函數(shù)類的基礎(chǔ)上定義的Λp*函數(shù)類在單位圓周上的光滑性與其導(dǎo)數(shù)變化的緩慢程度有精確關(guān)系的充要條件，其次在Λα函數(shù)類與Λ*函數(shù)類具有自共軛性質(zhì)的基礎(chǔ)上研究Λpα函數(shù)類與Λp*函數(shù)類的自共軛性質(zhì)，得到本文的主要結(jié)果：
　　1.f(z)是單位圓|z|<1內(nèi)的解析函數(shù)，那么f(z)∈Hp且f(eiθ)∈Λp*當(dāng)且僅當(dāng)Mp(r,fn)=O(1/(1-r))<