二階擬線性各向異性退化拋物--雙曲型方程的適定性研究.pdf

1、本文主要研究各向異性的退化拋物-雙曲型方程柯西問題的適定性.這類方程可以用來描述許多現(xiàn)象,例如多孔介質(zhì)中的對流-擴散過程,沉降-固化過程,生物存自然界中的擴散過程,金融決策等.由于這類方程在實際中具有廣泛和重要的應(yīng)用,許多數(shù)學家很早就對這個方程進行了研究,多數(shù)的工作主要是針對各向同性的情形,而且研究的解函數(shù)空間是BV空間.對于各向異性的情形,最早由Chen-Perthame[21]在L1空間中研究了系數(shù)不顯含時間和空間變量情形的動力學解

2、的適定性.本文是在他們成果的基礎(chǔ)上,作了進一步的推廣,主要對系數(shù)依賴于未知函數(shù)及時間變量的各向異性退化拋物-雙曲型方程柯西問題解的存在唯一性作了討論,主要包括下列內(nèi)容:
　　 第一部分,我們介紹幾個數(shù)學模型,主要包括多孔介質(zhì)中污染物遷移的對流-彌散方程,非線性熱傳輸方程,金融決策方程等.它們都可以用退化拋物-雙曲型方程來描述.通過這幾個模型,我們可以看到這個方程在實際應(yīng)用中具有不同的表現(xiàn)形式,系數(shù)可以僅僅依賴于未知函數(shù),也可以依

3、賴于未知函數(shù)及自變量x或t.系數(shù)依賴于t的方程是我們要研究的重點.
　　 第二部分,我們用kuznetsov誤差估計的方法證明了一個簡單的退化拋物-雙曲型方程柯西問題熵解的唯一性,通過對這個方程的研究,我們看清了Kuznetsov方法可行的關(guān)鍵之處在于引入了拋物耗散測度項,這是與雙曲型方程的不同之處.證明的方法還可以應(yīng)用到一般形式的退化拋物-雙曲型方程中去.
　　 第三部分,我們研究系數(shù)顯含時間t的退化拋物-雙曲型方程柯

4、西問題解的存在唯一性.我們用動力學方法證明了解的唯一性.為此,我們首先推導(dǎo)了一般形式的退化拋物-雙曲型方程的動力學公式,給出了動力學解的定義.對于熵解,我們還證明了動力學公式與熵不等式的等價性,從而說明了動力學解屬于L∞(Rn×R+)時與熵解是等價的.我們用粘性消去法證明解的存在性,給出了粘性方程的光滑解的先驗估計,得到它在C([0,+∞)；L1(Rn))中強收斂.利用該收斂性,可以證明該極限函數(shù)是動力學解或熵解.
　　 第四部