非線性演化系統(tǒng)的行波解和漸近傳播速度.pdf

1、近三四十年來，非線性演化系統(tǒng)（特別是拋物型系統(tǒng)）的行波解與漸近傳播速度理論吸引了很多學者的關注。所謂行波解，是指隨著時間的推移，沿某個方向以恒定速度移動但形狀不發(fā)生改變（或呈規(guī)律地變化）的一類特別的解；而漸近傳播速度是上世紀七十年代新引入的概念，它是用來描述一類初值（如具緊支集）的最終傳播速度。二者在種群生物學，傳染病學，化學，燃燒理論等自然科學中有十分重要的意義。近十年來，很多工作都集中在單穩(wěn)型和雙穩(wěn)型系統(tǒng)上，所謂單穩(wěn)型系統(tǒng)，是指其空

2、間齊性系統(tǒng)有兩個平衡態(tài)：一個穩(wěn)定，另一個不穩(wěn)定；所謂雙穩(wěn)型系統(tǒng)，是指其空間齊性系統(tǒng)有兩個有序且穩(wěn)定的平衡態(tài)，而二者之間其它的平衡態(tài)都是不穩(wěn)定的。目前，對單穩(wěn)型具有一定緊性的單調(diào)半流，已有比較一般的抽象理論。然而，對于單穩(wěn)型非單調(diào)的方程，雙穩(wěn)型單調(diào)半流，以及一些不具緊性的方程，還存在很多問題有待解決。本文的研究主要集中在上述三類演化系統(tǒng)。
　　首先研究單調(diào)但退化（即部分擴散系數(shù)為零）的反應擴散方程組。此時，系統(tǒng)不再具有緊性。在單穩(wěn)情

3、形下，本文構造了一對向量形式的上下解，再結(jié)合單調(diào)迭代的方法得到了行波解的存在性；在雙穩(wěn)情形下，本文利用擾動后的非退化系統(tǒng)來逼近退化系統(tǒng)（也稱粘性消去法），得到了行波解的存在性。上述兩個結(jié)果發(fā)展和補充了Volpert建立的關于反應擴散方程組的行波解理論。
　　其次研究兩類單穩(wěn)型非單調(diào)的方程。利用構造兩個輔助的單調(diào)方程夾住非單調(diào)方程的思想來研究漸近傳播速度和行波解的存在性與不存在性；而關于行波解的唯一性，本文先建立一個線性方程整體解的

4、結(jié)構定理，然后借助于此定理得到波形函數(shù)在無窮遠處確切的衰減速度，進而得到了唯一性。其中結(jié)構定理也有其自身的用處。此外，唯一性的證明克服了已有方法的某些局限性。
　　最后研究雙穩(wěn)型單調(diào)半流。此部分首先給出雙穩(wěn)結(jié)構的一種新的解釋，從而將單穩(wěn)和雙穩(wěn)情形結(jié)合了起來，并引出了反向傳播這一幾乎必要的條件。此部分系統(tǒng)地得到了雙穩(wěn)型半流的行波解存在性，包括連續(xù)環(huán)境上的離散和連續(xù)時間的緊半流，離散環(huán)境上的離散和連續(xù)時間的緊半流，時間周期的緊半流，周