三維實雙曲空間中的Crofton公式.pdf

1、雙曲幾何是現(xiàn)代微分幾何的一個重要的研究領(lǐng)域，空間形式中的Crofton公式在積分幾何中一直備受關(guān)注也得到了很多經(jīng)典的結(jié)論.本文第三章給出三維實雙曲空間的Weierstrass模型，驗證了Hilbert公理體系在模型中成立.第四章對三維實雙曲空間中的Crofton公式進行研究，給出了三維實雙曲空間中與任意可求長曲線相交的雙曲平面的Crofton公式和n維實雙曲空間中與任意可求長曲線相交的n-1維雙曲超平面的Crofton公式，改進了Rob

2、erson的結(jié)論.本文得到的主要結(jié)果如下： 定理4.2.1(H3+(-1)上的Crofton公式)設(shè)C為H3+(-1)中長度為L的光滑曲線，F(xiàn)2l為雙曲平面，A={l∈R41|=1，F(xiàn)2l∩C≠φ}，則與C相交的F2l的不變測度為∫∫∫An(F2l)dl=πL,其中n(F2l)為F2l與C的交點個數(shù)，dl為l的頂點所構(gòu)成的子集的體積元素.定理4.2.2(H2+(-1)上的Crofton公式)設(shè)C為H2+(-1)上長度為

3、L的光滑曲線，F(xiàn)1l為雙曲直線，B={l∈R31|=1，F(xiàn)1l∩C≠φ}，則與C相交的F1l的不變測度為∫∫Bn(Fl)dl=2L,其中n(F1l)為F1l與C的交點個數(shù)，dl為l的頂點所構(gòu)成的子集的面積元素. 定理4.2.3(Hn+(-1)上的Crofton公式)設(shè)C為Hn+(-1)中長度為L的光滑曲線，F(xiàn)n-1l為n-1維雙曲超平面，Ω={l∈Rn+11|=1，F(xiàn)n-1l∩C≠φ}，則與C相交的Fn-1l