分數(shù)布朗運動及其在保險金融中的應用.pdf

1、自19世紀60年代， Mandelbrot使科學界注意“長程相關性”以來，這個概念變得越來越重要。如今，具有長程相關性的隨機模型已經激發(fā)了人們很大的研究興趣，并且被成功地應用到不同領域．例如，在排隊系統(tǒng)，流體模型，通信網絡模型，交通模型，儲存模型和金融．參閱[21]，[41]，[62]，[68]，[80]，[81]，[82]，[96]，[102]和[106]。 分數(shù)布朗運動是一個常被使用的具有長程相關性的過程．關于分數(shù)布朗運動的

2、研究最早可追溯到 Kolmogorov[58]，并命名為 Wiener 螺線． Mandelbrot和Van Ness 在一篇開創(chuàng)性的論文[69]中首次提出了“分數(shù)布朗運動”這一名字。關于分數(shù)布朗運動的詳細介紹，參閱[30]或[94]。 分數(shù)布朗運動作為一種模擬工具有時比標準布朗運動更加靈活。它被用來模擬工程學，物理學和金融數(shù)學中的各式各樣的隨機數(shù)據(jù)．本文我們集中考慮它在保險金融中的應用。 最近幾年保險金融正在蓬勃發(fā)展并

3、且取得想當豐碩的成果。集體風險理論所關心的是保險公司的總資產和風險余額的隨機波動．對于古典風險模型，索賠過程是用一個具有空間齊次性和獨立增量性的復合泊松過程來描述的．根據(jù)過程的弱收斂，[52]用帶漂移的布朗運動來近似風險過程．在風險理論中，一個擴散近似的現(xiàn)代版本被[34]和[35]給出．由于它們比較完美的性質，幾乎所有的精算變量包括破產時間、破產前余額、破產時赤字的精確結果都已經被得到．近來，兩個風險模型下的一些最優(yōu)問題包括再保險、投資

4、和分紅被關注，并且部分已得到解決。 迄今，人們一直用具有馬爾科夫性的隨機過程來描述索賠過程。但在大部分情形下，保險公司的索賠過程呈現(xiàn)出長程相依性：給定時刻t后過程的行為，不僅依賴于￡時刻的信息，而且還依賴于時刻t以前的歷史．這種現(xiàn)象是不容忽視的并且很可能對不同的問題產生影響，倒如償付能力，定價及最優(yōu)再保險水平等等。因此，最近分數(shù)布朗運動被用來模擬保險公司可能面臨的索賠， (參閱[3]，[20]，[32]，[33]，[75]和 [

5、76])。 在幾何布朗運動的框架下， Black和Scholes建立了著名的期權定價理論。然而，古典金融資產的數(shù)學模型仍不完善．兩個明顯的問題存在于Black-Scholes公式中，即金融資產的價格過程不總是高斯和馬爾科夫的．為了更好地描述金融資產的價格，人們引入了更一般的模型，例如重尾Levy過程和隨機波動率模型．后來，通過重標極差法(R/S)，研究人員發(fā)現(xiàn)證券市場的波動有明顯的持久性，然后他們試著用分數(shù)布朗運動模擬股價和其他

6、資產價格，參閱[36]，[37]和[70]． 研究包括分數(shù)布朗運動的隨機微分方程所描述的系統(tǒng)是很自然的．在此體系下，一些標準問題，例如預報、參數(shù)估計和濾波已經得到了很好的解決，參考[12]，[14]，[38]，[54]，[55]，[56]，[60]，[78]和[86]．保險和金融中的優(yōu)化問題已經吸引了人們很大的興趣。然而，大部分的結果是在馬爾科夫控制系統(tǒng)下得到的．所以，在更廣的環(huán)境下研究最優(yōu)控制問題有其理論和實際價值。最近人們開

7、始注意到分數(shù)布朗運動擾動的系統(tǒng)下的最優(yōu)控制問題。例如，[23]嘗試著去解一般的最優(yōu)問題。[46]和[47]奠定了分數(shù)布朗運動市場上最優(yōu)理論和最優(yōu)消耗的基礎。[49]研究了stop-loss-start-gain投資組合并且給出了標準期權定價的內在價值和時間價值的Carr-Jarrow分解。另一方面，線性二次規(guī)劃是一個典型而且重要的隨機控制類，它可以被解決通過一個相關的黎卡提方程。就我們知道的，[57]得到一個有限時間區(qū)間上簡單線性二次規(guī)

8、劃的完備解．[51]考慮了分數(shù)布朗運動所擾動下隨機線性系統(tǒng)的一些最優(yōu)控制問題。盡管如此，LQ問題仍沒有被完全展示。所以，我的博士畢業(yè)論文主要致力于分數(shù)布朗運動擾動體系下，保險金融中LQ問題的進一步研究。 但是，對于分數(shù)布朗運動隨機控制問題的研究，不可避免地要涉及到關于它的隨機微分，相關的隨機積分和微分方程。因為分數(shù)布朗運動不是半鞅，極其豐富的半鞅隨機積分理論不能直接應用。下面，我們使用最近在[26]中定義地關于分數(shù)布朗運動的隨機

9、微分。另外，由于分數(shù)布朗運動的非馬氏性，著名的Hamilton-Jacobi-Bellman 方程不能被應用但是我們可以采用鞅方法和完全平方的方法去解決相應的控制問題。 本篇論文的結構和內容安排如下： 第一章，我們介紹了分數(shù)布朗運動的定義、性質及其關于分數(shù)布朗運動隨機積分理論的主要結果。 第二章，我們主要研究了分數(shù)布朗運動擾動下的古典風險過程的最優(yōu)輸入問題。通過完全平方的辦法，最優(yōu)控制策略的分析解被得到．另外，我

10、們還得到相應的最優(yōu)值函數(shù)。 第三章，我們在帶漂移分數(shù)布朗運動的風險模型下，考慮了保險公司的最優(yōu)輸入和投資問題．我們給出了最優(yōu)策略存在的充分條件。借助于兩種不同的辦法，最優(yōu)策略的解被給出．另外，我們導出了相應的最優(yōu)值函數(shù)．最后，兩種特殊的情況被考慮。 第四章，在風險需求和投資兩種控制下，我們研究了動態(tài)均值-方差問題.基于HJB方程的粘性解和拉格朗日乘子技術，我們給出了古典的 Cramér-Lundbetg模型和擴散模型下有

11、效前沿和有效策略的閉形式的解。 第五章，我們研究了動態(tài)均值-方差投資組合選擇問題，其中風險過程是被分數(shù)布朗運動擾動的古典風險過程．有效前沿和相應的有效策略也被得到，并且與標準布朗運動情況下的結果進行了比較。 第六章，我們考慮了在分數(shù)Black-Scholes市場上，動態(tài)連續(xù)時間的均值-方差投資組合選擇問題．有效前沿和相應的有效策略也被導出．我們展現(xiàn)了在分數(shù)布朗運動的均值-標準差圖上有效前沿仍然是一條直線．最后，我們在數(shù)值