非線性偏微分方程的精確解研究.pdf

1、非線性方程是描述自然現(xiàn)象的一類重要數(shù)學(xué)模型,也是非線性數(shù)學(xué)物理特別是孤立子理論最前沿的研究課題之一。同時,非線性方程的精確解不僅可以定量地描述非線性偏微分方程(組)的許多重要性質(zhì),比如:解的穩(wěn)定性和波的運(yùn)動規(guī)律,而且可以幫助人們發(fā)現(xiàn)新的非線性現(xiàn)象及其規(guī)律。因此,對非線性方程進(jìn)行精確求解和定性分析在理論和實(shí)踐上都具有非常重要的意義。
　　本論文的主要內(nèi)容為:
　　第一章首先綜述了孤立子理論的起源和發(fā)展,其次,介紹了一些常用的求

2、解非線性偏微分方程的方法以及取得的成果,并簡述了橢圓函數(shù)的一些預(yù)備知識,最后簡要地介紹了論文的主要內(nèi)容、研究意義和主要創(chuàng)新點(diǎn)。
　　第二章介紹了兩種求解非線性偏微分方程的方法:一種是Fan子方程法,利用該方法可以在復(fù)雜的非線性系統(tǒng)與相對簡單的一個常微分子方程之間建立一個橋梁—多項(xiàng)式變換,通過求解該子方程的精確解可以得到原非線性系統(tǒng)的精確解;另一種是推廣的 Fan子方程法,本文將動力系統(tǒng)分支理論方法與子方程法結(jié)合起來,即推廣的Fan

3、子方程法,應(yīng)用到非線性方程中可以獲得更多的新精確解。
　　第三章是應(yīng)用推廣的 Fan子方程法來研究(3+1)維 KP方程和廣義 KdV方程的精確解。首先,用微分方程定性理論和分支理論分析這兩類非線性方程的行波解的分支及其動力學(xué)性質(zhì);其次,利用可積系統(tǒng)的首次積分并結(jié)合相圖分析來討論這些非線性系統(tǒng)行波解的所有存在參數(shù)條件及動力學(xué)性質(zhì),最后,不僅可以獲得更豐富的精確解,而且還可以獲悉每一個解的動力學(xué)性質(zhì)及其滿足的參數(shù)條件。
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