非線性偏微分方程的精確解研究.pdf

1、非線性方程是描述自然現(xiàn)象的一類(lèi)重要數(shù)學(xué)模型,也是非線性數(shù)學(xué)物理特別是孤立子理論最前沿的研究課題之一。同時(shí),非線性方程的精確解不僅可以定量地描述非線性偏微分方程(組)的許多重要性質(zhì),比如:解的穩(wěn)定性和波的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,而且可以幫助人們發(fā)現(xiàn)新的非線性現(xiàn)象及其規(guī)律。因此,對(duì)非線性方程進(jìn)行精確求解和定性分析在理論和實(shí)踐上都具有非常重要的意義。
　　本論文的主要內(nèi)容為:
　　第一章首先綜述了孤立子理論的起源和發(fā)展,其次,介紹了一些常用的求

2、解非線性偏微分方程的方法以及取得的成果,并簡(jiǎn)述了橢圓函數(shù)的一些預(yù)備知識(shí),最后簡(jiǎn)要地介紹了論文的主要內(nèi)容、研究意義和主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)。
　　第二章介紹了兩種求解非線性偏微分方程的方法:一種是Fan子方程法,利用該方法可以在復(fù)雜的非線性系統(tǒng)與相對(duì)簡(jiǎn)單的一個(gè)常微分子方程之間建立一個(gè)橋梁—多項(xiàng)式變換,通過(guò)求解該子方程的精確解可以得到原非線性系統(tǒng)的精確解;另一種是推廣的 Fan子方程法,本文將動(dòng)力系統(tǒng)分支理論方法與子方程法結(jié)合起來(lái),即推廣的Fan

3、子方程法,應(yīng)用到非線性方程中可以獲得更多的新精確解。
　　第三章是應(yīng)用推廣的 Fan子方程法來(lái)研究(3+1)維 KP方程和廣義 KdV方程的精確解。首先,用微分方程定性理論和分支理論分析這兩類(lèi)非線性方程的行波解的分支及其動(dòng)力學(xué)性質(zhì);其次,利用可積系統(tǒng)的首次積分并結(jié)合相圖分析來(lái)討論這些非線性系統(tǒng)行波解的所有存在參數(shù)條件及動(dòng)力學(xué)性質(zhì),最后,不僅可以獲得更豐富的精確解,而且還可以獲悉每一個(gè)解的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)及其滿(mǎn)足的參數(shù)條件。
　　第