探究非線性偏微分方程精確解的幾種方法.pdf

1、21世紀(jì)科學(xué)研究和技術(shù)發(fā)展的主流方向是非線性科學(xué),如何構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解成為非線性科學(xué)研究領(lǐng)域的一個重要分支.目前,已經(jīng)提出和發(fā)展了許多構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解的理論和算法,但構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解還沒有統(tǒng)一而普遍適用的方法,因此繼續(xù)尋找一些行之有效的求解方法仍然是一項有價值的研究工作.
　　隨著計算機符號系統(tǒng)的出現(xiàn),很多專家學(xué)者在如何求解非線性發(fā)展方程的精確解方面做了大量有效的工作,構(gòu)造出了多種有效的求解方法,本文正是

2、在前人的基礎(chǔ)上,著重研究了簡單方程法，成功地將此法程序化.另外,本文以雙線性方法為基礎(chǔ)系統(tǒng)地研究了如何構(gòu)造(1+1)維非線性發(fā)展方程的Rimann theta函數(shù)周期波解的方法.實際上,就是首先將簡單方程法應(yīng)用到一些重要的非線性數(shù)學(xué)物理模型,從低維到高維成功的獲得了豐富的行波解,并將所求得精確解通過圖像的形式進行性態(tài)分析;之后又將Rimann theta函數(shù)周期波解運用到9階KdV方程.兩種方法的區(qū)別是前者理論基礎(chǔ)較淺顯但計算量較大,通

3、過Mathematica等數(shù)學(xué)軟件也還是很容易操作的;后者需要一定的理論基礎(chǔ),整套理論是建立在雙線性方法的基礎(chǔ)之上的,所有出現(xiàn)在黎曼矩陣中的參數(shù)完全是任意的,且代數(shù)幾何解包含特殊的黎曼常數(shù),計算起來比較困難.本文章節(jié)及內(nèi)容安排如下:
　　第一章介紹了與本文研究內(nèi)容有關(guān)的研究背景和發(fā)展現(xiàn)狀,并概括性的說明了本文的主要工作.第二章將簡單方程法推廣到(2+1)維KP方程,構(gòu)造出了鐘狀孤立波解,并對解的性態(tài)做了分析.第三章將簡單方程法系統(tǒng)

4、化，總結(jié)出此法運用的步驟，并將此法推廣到三類非線性數(shù)學(xué)物理模型，Benjamin-Bona-Mahoney方程,(2+1)維Boussinesq方程,(3+1)維YTSF方程,得到了他們的精確行波解.第四章呈現(xiàn)了Rimann theta函數(shù)周期波方法的研究現(xiàn)狀和意義,并利用此方法研究一個高階的可積模型9階KdV方程,得到了此方程的一周期波與二周期波解,分析了周期波解的傳播性態(tài),建立了一周期波與二周期波解之間的關(guān)系.第五章對全文進行了總結(jié)