孤子理論若干問題研究.pdf

1、本文圍繞孤子理論的Hirota直接方法，擾動(dòng)，對稱，相似解等問題做了以下三方面的主要工作： 1、首先研究了雙線性算子的一些性質(zhì)，得到了在對數(shù)變換意義下KdV類的雙線性方程所直接相對應(yīng)的非線性pde(即過渡方程)的一些性質(zhì)。利用這些性質(zhì)，本文首次得出了線性項(xiàng)非空的多項(xiàng)式形式的原方程與相應(yīng)的過渡方程之間的線性項(xiàng)非空的多項(xiàng)式形式的變換的具體可能形式，并構(gòu)造例子給以證實(shí)；得到了任意給定的線性項(xiàng)非空的多項(xiàng)式形式非線性pde具有線性項(xiàng)非空的

2、多項(xiàng)式形式變換的一些必要條件。如果所給定的線性項(xiàng)非空的多項(xiàng)式形式的非線性PDE能化成KdV類的雙線性方程，我們可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)原方程線性部分算子與其相對應(yīng)的KdV類的雙線性方程中的雙線性算子的關(guān)系，從而直接寫出該方程所對應(yīng)的雙線性方程。這些結(jié)果使我們對多項(xiàng)式形式的線性項(xiàng)非空的KdV類的非線性PDE有直觀的了解，從而能直接的改進(jìn)一些文獻(xiàn)的結(jié)果。 2、對一階非線性擾動(dòng)方程的情形，用泰勒級數(shù)關(guān)于擾動(dòng)參數(shù)ε在零點(diǎn)附近直接展開方法推導(dǎo)了該擾動(dòng)

3、方程漸近解析解所應(yīng)具有的條件等式。通過這個(gè)條件等式，我們就有可能獲得一些變換，這些變換把給定的未擾動(dòng)方程的解析解直接的映成擾動(dòng)方程的漸近解析解。為了獲得更多的這類變換，我們引入了Lie-Baclund(LB)對稱，從而利用可能存在的未擾動(dòng)方程的遞歸算子和LB對稱來構(gòu)造大量的此類變換，最終從未擾動(dòng)方程的精確解出發(fā)，通過這些變換，直接獲得一大批的漸近解析解。擾動(dòng)的KdV方程和擾動(dòng)的Burgers方程將被作為例子給出。至于高階的情形，我們僅給

4、出理論上的一些推導(dǎo)結(jié)果和一個(gè)簡單的例子。值得注意的是，一階情形與高階情形的理論結(jié)果的推導(dǎo)與變換的計(jì)算無須用到任何的群論知識。另外我們用Hirota直接方法研究了一種擾動(dòng)的KdV方程的N-孤立了解，并研究了擾動(dòng)情形下N-孤立了解在的圖像情況。 3、對Broer-Kaup(BK)方程組所得到的單一方程作了經(jīng)典的李對稱相似約化，并給出部分相似解。對其中一類特殊的情形，通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)了BK方程組的相似解與著名的Burgers方程之間