隨機偏微分方程和信用風險的若干問題研究.pdf

1、論兩個問題，前三章討論隨機偏微分方程(簡稱SPDE)，后兩章研究信用風險模型，其中又以信用違約互換（簡稱CDS）為主要研究對象。
　　 第一章的主要研究對象是隨機波動方程。在1.1節(jié)中，我們給出了一些充分條件使得這類被Q-維納過程擾動的強衰減性波動方程的局部解以正概率或者在L2意義下爆炸。其中，能量不等式(Lyapunov泛函)在證明全局解存在時起了關(guān)鍵作用。由于SPDE的弱解不能直接使用It(o)公式，但是這一困難可以通過構(gòu)造

2、無窮維隨機微分方程的一列強解去逼近該方程的弱解而得到解決。在本文中，我們通過這樣的構(gòu)造得到一個局部解，并且證明它在有限時間內(nèi)以正概率或者是在L2意義下爆炸。
　　 在空間維數(shù)為2的情況下，算子的格林核雖然仍是一個函數(shù)，但是卻不再是L2可積。因此，如果該方程仍用空時白噪聲去擾動，那么在Walsh的理論體系下不能定義該方程的解。因此，我們考慮一種更廣義的跟空間相關(guān)的噪聲去驅(qū)動二維波動方程。同時，為了刻畫過程的自相似性和長時間相依性，

3、在1.2節(jié)中，我們考慮時間上是分式的而且具有非退化的空間協(xié)變差的噪聲，證明了在該類噪聲驅(qū)動下的隨機波動方程具有過程值的解，并且得到了此解的H(o)1der連續(xù)性及相應(yīng)階數(shù)。
　　 在第二章中，我們討論幾類高階SPDE。在2.1節(jié)中，我們首先研究了一類四階方程，這個方程可以看成是二階隨機Anderson模型的高階形式。當方程的空間維數(shù)d<3時，用Walsh的鞅方法即可定義該四階方程的過程值解，但是在空間維數(shù)d=4．5時，為了得到方

4、程的過程值解，需要對驅(qū)動該方程的隨機噪聲進行空間修正。我們得到了在空間維數(shù)小于等于5時該方程在L2(Q)空間中的Lyapunov估計，并進一步得到了解的有限混沌展開的收斂率。
　　 另外一個典型的高階方程是隨機Cahn-Hilliard方程，該方程描述了一些重要的兩相位系統(tǒng)的定性特征，例如當研究材料快速冷卻時顯示的一種快速分離的相位系統(tǒng)。近年來，這個方程在材料科學的研究中變得越來越重要。然而，在實際研究中相位系統(tǒng)的進化往往是不確

5、定性的。因此用隨機噪聲擾動的Cahn-Hilliard方程更能確切描述相位系統(tǒng)的進化過程。在2.2節(jié)中，我們考慮帶有小擾動的隨機Cahn-Hilliard方程，并且證明了該方程解的概率分布的大偏差原理。在證明過程中，采用Azcncott的方法，由Freidlin-Wentzell不等式得到該分布上下界估計，從而證明我們的結(jié)果。
　　 在第三章中，我們研究分式噪聲驅(qū)動的隨機熱方程的非參數(shù)估計。當擾動噪聲的協(xié)變差矩陣有某些特定形式時

6、，該偏微分方程可以轉(zhuǎn)化為一列由分式布朗運動驅(qū)動的隨機微分方程。由此通過分式布朗運動的性質(zhì)，得到所考慮參數(shù)的估計。
　　 文本的后兩章主要研究金融數(shù)學中的信用風險。隨著信用衍生品市場的迅速發(fā)展，越來越多的公司需要通過市場上的衍生產(chǎn)品交易來管理和轉(zhuǎn)移面臨的各方面信用風險。雖然市場上存在著多種信用衍生產(chǎn)品，但信用違約互換也許是最重要，同時也是交易量最多的一種。對于一個投資者來說，怎么樣的一個投資組合能帶來最大的收益無疑是很重要的。第四

7、章，在簡約模型下，我們考慮一個投資者在投資一個包含信用違約互換合同和一個無風險債券的組合時，如何分配投資資金使得收益最大化。通過計算，得到了對應(yīng)的HJB方程，并給出了數(shù)值運算結(jié)果。最后的分析得出，信用違約互換是一個很好的信用風險轉(zhuǎn)移工具，但不是一個很好的專門用來投資的產(chǎn)品。
　　 在最后一章中，我們研究了信用違約互換合同中存在的對手風險。在考慮信用違約互換定價問題時，對手風險經(jīng)常被忽略。但是隨著金融危機的到來，很多大投資銀行紛紛