非線性微分方程求解和群分析.pdf

1、非線性微分方程一直以來都是備受關注的研究對象.本文基于數(shù)學機械化思想，以計算機符號計算軟件為工具，圍繞非線性微分方程這一課題開展了三個方面的研究：非線性發(fā)展方程的精確解；非線性分數(shù)階微分方程的近似解；非線性微分方程的群分析。 本文由以下五章組成： 第一章介紹本文所涉及的學科：數(shù)學機械化、孤立子理論、分數(shù)微積分和分數(shù)階微分方程、微分方程群理論分析的歷史發(fā)展及現(xiàn)狀，同時介紹了國內外學者在這些領域所取得的成果.最后，介紹了本文

2、的主要工作。 第二章介紹本文的理論基礎：AC=BD理論和微分偽帶余除法，并且闡述在AC=BD這一理論框架下的微分方程精確解的構造問題。 第三章是在第二章理論的指導下，基于將非線性發(fā)展方程精確求解代數(shù)化、算法化、機械化的思想，提出兩種求解非線性發(fā)展方程精確解的有效算法：第一種是廣義的有理形式展開法，該方法是對已有的有理形式展開法的擴展，本章以高維耦合Burgers方程為例，驗證了該方法的有效性；第二種是基于變系數(shù)Korte

3、weg-de Vries(KdV)方程的子方程法，該方法用變系數(shù)KdV方程取代常微分方程作為輔助方程，本章應用該方法獲得3+1維potential-YTSF方程的精確解。 第四章是關于非線性分數(shù)階微分方程的近似求解.首先介紹了本章涉及到的分數(shù)微積分的定義及其性質，然后介紹了非線性分數(shù)階微分方程近似求解的方法及其應用.本章應用變分迭代法、Adomian分解法和同倫攝動法獲得非線性分數(shù)階Sharma-Tasso-Olever(STO

4、)方程的有理近似解，并且通過對具體的數(shù)值、絕對誤差和圖形的分析，闡述這三種方法的自身特征、有效性和可靠性，本章將用于求解整數(shù)階微分方程精確解和數(shù)值解的同倫分析法應用到非線性分數(shù)階Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBM-Burgers)方程中，獲得其近似解。 第五章主要研究非線性微分方程的群分類和守恒律分類.首先介紹標準型和符號計算軟件Maple中的軟件包RIFSIMP，此軟件包可以化超定的微分方程組為標