微分和差分方程的構(gòu)造性變換與機(jī)械化求解.pdf

1、本文以數(shù)學(xué)機(jī)械化思想和AC=BD模式為指導(dǎo)，以構(gòu)造性的變換及符號(hào)計(jì)算為輔助工具，主要研究了數(shù)學(xué)物理中微分方程的構(gòu)造性變換與機(jī)械化求解問題，包括微分、微分差分方程組的精確求解算法，漸進(jìn)求解算法，線性變系數(shù)微分方程間的代數(shù)變換和初等函數(shù)等價(jià)問題的算法。 第一章介紹了數(shù)學(xué)物理機(jī)械化及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，圍繞微分方程的求解理論和計(jì)算機(jī)代數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)述了相關(guān)方面的國(guó)內(nèi)外研究和發(fā)展概況，在本章最后介紹了本文的選題和主要工作。 第二章考

2、慮了微分方程的AC=BD理論，介紹了C-D對(duì)理論的基本內(nèi)容和思想，AC=BD理論側(cè)重于對(duì)微分方程變換的機(jī)械化構(gòu)造，可以把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問題，把變系數(shù)問題轉(zhuǎn)化為常系數(shù)問題，把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題來解決。 第三章從一個(gè)新的角度來考慮非線性發(fā)展方程的精確求解理論，類似于代數(shù)方程的理論，微分方程也可以看作在特定環(huán)上的求解。通過構(gòu)造微分多項(xiàng)式環(huán)及其相應(yīng)的導(dǎo)子，在這個(gè)環(huán)上求解滿足給定方程的元素?？梢圆粩嗟臄U(kuò)大構(gòu)造的微分多項(xiàng)式環(huán)及其導(dǎo)

3、子，以擴(kuò)大給定方程特解的形式。并且給出了多項(xiàng)式環(huán)上的多項(xiàng)式次數(shù)的確定方法。這種方法確定的次數(shù)不僅和給定的方程有關(guān)，還和未定元的導(dǎo)數(shù)(相當(dāng)于輔助方程)有關(guān)。并且給出了計(jì)算非線性發(fā)展方程精確解的兩個(gè)機(jī)械化算法，改進(jìn)了射影Riccati方法，提出了多行波變換的輔助方程法，這個(gè)方法可以獲得更多類型的精確解，包括多孤立子解，周期和孤子相互作用解，雙周期解和孤子作用解，并將其推廣到變系數(shù)的情形，以2+1維KdV方程為例，模擬了解的性態(tài)。給出了n+1

4、維Klein-Gordon方程，n+1維Klein-Gordon-Zakharov方程的雙行波形式的解。這種模式的優(yōu)點(diǎn)主要有：第一，可以統(tǒng)一很多方法，并在此基礎(chǔ)上提出新方法。第二，解的表達(dá)式不再是假設(shè)的，而是按照微分多項(xiàng)式環(huán)的基展開，減少了原來算法中的假設(shè)．第三，可以給出更有效的展開階次的確定方法。 第四章首先將第三章中確定展開階次方法推廣到微分差分方程，通過對(duì)非線性微分差分方程的差分項(xiàng)和微分項(xiàng)分別處理，即構(gòu)造差分方程來約化差分

5、項(xiàng)，構(gòu)造微分方程來約化微分項(xiàng)。通過將所得多項(xiàng)式化為代數(shù)方程組的求解。研究了兩種輔助方程，第一種為Riccati方程，另一種為橢圓方程。這個(gè)方法比原來的方法提高了效率，因?yàn)樽罱K所解方程化為代數(shù)方程，而原來的解法有時(shí)候會(huì)有非代數(shù)的方程。并且該方法更有統(tǒng)一性，離散的Riccati方程法將非線性微分差分方程的孤立波解，周期解，和有理解的求解統(tǒng)一起來了。只需計(jì)算一次即可得到三種類型的解。而橢圓方程法則將幾種主要的橢圓函數(shù)的求解統(tǒng)一起來了。接下來通

6、過構(gòu)造方程的不同差分項(xiàng)的遞推關(guān)系構(gòu)造了微分差分方程的射影Riccati方程法，對(duì)其解分別求出其差分項(xiàng)的遞推關(guān)系，構(gòu)造了一個(gè)機(jī)械化算法，它可以得到廣泛的精確解。 第五章討論了幾種求解微分方程的近似解的方法在微分差分方程中的應(yīng)用，有同倫分析法，Adomian分解法，這種思想對(duì)Lyapunov小參數(shù)展開法，攝動(dòng)方法等都同樣適用，在第一節(jié)以離散的KdV方程為例說明了同倫分析法的應(yīng)用，將結(jié)果與精確解相對(duì)比，它們吻合良好。在第二節(jié)我們以Hy

7、brid方程為例說明了Adomian分解法在微分差分方程的應(yīng)用，并且求解了它的沖擊波解和扭結(jié)孤立波解。對(duì)連續(xù)情形的求解過程進(jìn)行分析說明了同倫分析中的幾個(gè)假設(shè)量之間可以相互確定的，這樣就減少了假設(shè)量的個(gè)數(shù)，使求解過程更加有章可循。 第六章利用符號(hào)積分中的Order函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)計(jì)了一個(gè)算法確定兩個(gè)三階變系數(shù)常微分方程之間的所有自變量之間的有理代數(shù)變換(因變量的變換不做限制)，若存在就給顯式的求出來，如不能求解可以證明所給方程間不存

8、在有理變換。特別的，我們可以給出變系數(shù)線性常微分方程通過變換變?yōu)槌Ｏ禂?shù)線性微分方程。 有時(shí)計(jì)算機(jī)輸出的結(jié)果異常龐大和復(fù)雜，而且有些結(jié)果是可以化簡(jiǎn)的，計(jì)算機(jī)并沒有自動(dòng)將這些結(jié)果化簡(jiǎn)為我們想要的相對(duì)簡(jiǎn)單的形式，針對(duì)這個(gè)問題，我們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)算法判斷兩個(gè)孤立子解是否是等價(jià)的，亦即是否是同一個(gè)解。另外，我們給出了無平方分解的另外一種算法，不同于已有的先求最低次數(shù)的無平方因子，反過來，盡可能的從具有較高的次數(shù)的無平方因子開始求．這樣就可以一