某些非代數(shù)曲面上的向量叢.pdf

1、摘要Schwarzanberger[Sw61]證明了代數(shù)曲面X上每一個滿足c1(E)∈NS(X)的向量叢E上都存在一個全純結(jié)構(gòu).對于非代數(shù)曲面來說,正如Elencwajg-Forster[EF82]和Banica-Le Potier[BP87]的工作所示,類似的條件c1(E)∈NS(X)(該條件總是必要的)不再是充分的.我們知道,復(fù)流形上秩為r的全純向量叢為不可約的意味著該向量叢沒有秩為K的凝聚解析子層,其中0

2、含著不可濾性,但是非濾子叢不一定就是不可約的向量叢.然而,當(dāng)向量叢的秩為2時,不可約性等價于不可濾性.代數(shù)流形上不存在不可約的向量叢,但在緊致的非代數(shù)曲面上,存在許許多多不可約的向量叢.Elencwajg-Forster[EF82]通過對比二維環(huán)面X上一個秩為2的濾子叢E的versal形變和X上的濾子叢的參數(shù)空間,證明了NS(X)為平凡群的二維環(huán)面X上存在秩為2的且第二陳類等于2的不可約向量叢.在下文中,當(dāng)談到曲面時,若沒有特別說明,我

3、們總是指緊致的非代數(shù)曲面.在非代數(shù)曲面上,下述問題仍未得到徹底地解決,即秩為2的拓撲向量叢上是否存在全純結(jié)構(gòu),以及何時一個給定的全純向量叢上存在一個濾過.因此,非代數(shù)曲面上的向量叢頗值得研究.在該文中,我們對沒有除子的非代數(shù)曲面和第一Betti數(shù)為奇數(shù)的非代數(shù)曲面上的向量叢作了嘗試性的探討,特別地,該文給出了例外Hopf曲面上的集合IS2(X,O)的一個描述.另外,還探討了兩類非主的Hopf流形上的線叢的上同調(diào)群的維數(shù).在緊致復(fù)流形的分

4、類理論中,kodaira維數(shù)和代數(shù)維數(shù)起到了重要的作用.眾所周知,對于一個緊致復(fù)曲面來說,X為代數(shù)曲面的充要條件為其代數(shù)維數(shù)a(X)=dim X=2;X為Kahler曲面的充要條件為X的第一Betti數(shù)為偶數(shù).而且,對于非代數(shù)曲面X來說,X為橢圓曲面的充要條件為a(X)=1;X為非橢圓曲面的充要條件為a(X)=0.我們知道沒有除子的緊致連通復(fù)流形的代數(shù)維數(shù)為0,但是,該結(jié)論的逆命題不成立.我們有反例:非橢圓的Hopf曲面的確滿足代數(shù)維數(shù)