G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的SDE弱解理論和擴(kuò)散過程的性質(zhì)及應(yīng)用問題.pdf

1、最近的十多年里,在統(tǒng)計(jì)中的模型不確定性和金融中的風(fēng)險(xiǎn)度量和超對(duì)沖問題的推動(dòng)下,人們提出了各種各樣的風(fēng)險(xiǎn)度量,比如1999年Artzner等四人提出的相容風(fēng)險(xiǎn)度量,2002年F(O)llmer和Schied提出的凸風(fēng)險(xiǎn)度量和Gianin提出的概率不變風(fēng)險(xiǎn)度量,以及2006年Song和Yah提出的共單調(diào)相容和共單調(diào)凸風(fēng)險(xiǎn)度量.其中對(duì)于相容風(fēng)險(xiǎn)度量,目前已有很多的研究成果.2006年,Peng引入了一種新的非線性期望一次線性期望.這一期望具有

2、單調(diào)性、保常性、次可加性和正齊次性.它對(duì)應(yīng)于某一相容風(fēng)險(xiǎn)度量.在這樣一種次線性期望下,Peng通過下面的偏微分方程引入了G正態(tài)分布的概念,其中u是一定義在[0,∞)×R空間上的實(shí)值函數(shù),()是定義在實(shí)數(shù)域上的實(shí)值、有界和Lipschitz連續(xù)的函數(shù).其中a+=max{0,a},a-=max{0,-a｝,它們和(σ)及(σ)都是非負(fù)常數(shù),而且(σ)≤(σ).G正態(tài)分布是經(jīng)典的正態(tài)分布在次線性期望下的推廣.2007和2008年P(guān)eng在他的

3、兩篇文章中給出了次線性期望下的大數(shù)定律和中心極限定理,指出次線性期望下的極限分布是G正態(tài)分布.這表明G正態(tài)分布同經(jīng)典的正態(tài)分布一樣重要.Peng還介紹了一給定次線性空間下的G布朗運(yùn)動(dòng),與經(jīng)典的布朗運(yùn)動(dòng)類似,它是一服從G正態(tài)分布且具有平穩(wěn)獨(dú)立增量的連續(xù)的過程,這時(shí)次線性期望被稱為G期望.在G期望的框架下,Peng在2006年建立了一種新的伊藤隨機(jī)積分和隨機(jī)微分方程理論.與經(jīng)典理論類似,在G期望下也有伊藤公式.對(duì)于此公式,Peng在2010

4、年,Gao在2009年以及Li和Peng在2009年分別給出了它的推廣的一般公式.Peng還介紹了一種由G布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為G-SDE).比如對(duì)于下面的隨機(jī)微分方程(見Peng(2010))Peng證明了其解在空間M2G(0,T)中是存在唯一的.其中T和x都是給定實(shí)數(shù),且T>0.(Bt)t≥0是1維G布朗運(yùn)動(dòng),((B)t)t≥0是對(duì)應(yīng)于此布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過程,b,h,σ:Ω×[0,T]×R→R是給定的函數(shù),記ψ=b,h

5、,σ,則滿足下面的條件:
　　 (A1)對(duì)于任意的x∈R,ψ(·,x)屬于隨機(jī)過程空間M2G(0,T).
　　 (A2)ψ是關(guān)于x一致Lipschitz連續(xù)的,即存在常數(shù)K使得
　　 與經(jīng)典類似,對(duì)于G布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)下的隨機(jī)微分方程的解的存在和唯-性問題,在其他條件也有相應(yīng)的結(jié)果,我們可以參考Lin(2006),Jing(2006)以及Bai和Lin(2010)等-些文章.特別是2009年Gao在假設(shè)(A2)以及系

6、數(shù)與t和ω?zé)o關(guān)的條件下證明了隨機(jī)微分方程(2)的解是連續(xù)的,并給出了一些很好的性質(zhì).其他的一些有關(guān)G期望的理論我們也可以看Hu和Peng(2009),Li和Peng(2009)及Bai(2009)等一些文章.
　　 在這篇博士論文中,我們將主要關(guān)注以下問題:
　　 1.在假設(shè)(A1)(A2)及系數(shù)與ω?zé)o關(guān)的條件下,G-SDE(2)的弱解是否存在且唯一?
　　 2.在與1相同的的條件下,G-SDE(2)的弱解與某類

7、偏微分方程之間有什么關(guān)系嗎?
　　 3.在G期望下是否還可以給出與經(jīng)典類似的某一非線性Dynkin公式?
　　 4.如果非線性的Dynkin公式存在,那么它在計(jì)算中有什么應(yīng)用?
　　 這篇論文包含三章的內(nèi)容.第一章回顧了有關(guān)G期望、G布朗運(yùn)動(dòng)和G期望下的隨機(jī)積分、伊藤公式、隨機(jī)微分方程、非線性Feymann-Kac公式等基本知識(shí)以及一些相關(guān)的引理.第二章主要研究上面的提到的前兩個(gè)問題,而第三章則研究后兩個(gè)問題.現(xiàn)

8、在我們給出第二章和第三章的主要結(jié)果.
　　 第二章:我們知道在經(jīng)典的隨機(jī)微分方程理論中(可參考()ksendal(1998),()ksendal(2003),Mao(1997),Ikeda和Watanabe(1989),Evans(2006)和Sobczyk(2001)等),當(dāng)布朗運(yùn)動(dòng)給定時(shí)我們可以定義強(qiáng)解的概念.而且Tanaka公式告訴我們強(qiáng)解有時(shí)候是不存在的,但是我們可以有另一種解,稱為弱解.弱解就是在布朗運(yùn)動(dòng)沒有事先給定時(shí)

9、的一種解.那么類似地,在第二章就來研究一下在G期望的框架下的隨機(jī)微分方程的弱解問題.我們定義了強(qiáng)解和弱解的概念.為了證明弱解的存在唯一性,我們引入相似的概念以表示不同G期望空間下的隨機(jī)向量和隨機(jī)過程之間的關(guān)系.我們證明了在假設(shè)(H1)和(H2)下隨機(jī)微分方程(2)的弱解是一致相似的.另外對(duì)于給定布朗運(yùn)動(dòng)的方差不確定性區(qū)間時(shí),弱解是有限維弱同分布的.在2006年和2010年的文章中,Peng引入了G期望下的正倒向隨機(jī)微分方程,并利用粘性解

10、理論給出了非線性的Feymann-Kac公式用以描述正倒向隨機(jī)微分方程的解與一類非線性偏微分方程之間的關(guān)系.我們借用Peng的證明方法給出了弱解的分布與一類非線性偏微分方程之間的關(guān)系.主要結(jié)論敘述如下:
　　 定理2.4.1在假設(shè)(H1)(H2)下,隨機(jī)微分方程(2.1)的滿足初值Xo=x∈R的弱解Xt是弱唯一的.
　　 推論2.4.2在假設(shè)(H1)(H2)下,如果x∈R,和(σ)≥(σ)≥0給定,則方程(2.1)的滿足

11、
　　 定理2.5.1假設(shè)(H1)(H2)成立,并假設(shè)方程(2.1)的所有的系數(shù)都是與時(shí)間t無關(guān)且可被常數(shù)K界住的.
　　 定理2.5.4假設(shè)(H1)(H2)成立.
　　 第三章:在隨機(jī)微分方程理論中,擴(kuò)散過程是一十分重要的過程,其在隨機(jī)控制和金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用(可參考Yong和Zhou(1999)).那么在G期望下,擴(kuò)散過程又有著什么樣的性質(zhì)呢?這是個(gè)很有趣的問題.我們可以發(fā)現(xiàn)它們?nèi)匀皇邱R爾科夫的.在

12、這一章中,我們研究了擴(kuò)散過程的最小算子AG,其定義與經(jīng)典類似.我們給出了四種條件下的算子的表示定理.我們還研究了由G伊藤過程Xt產(chǎn)生的過程,f(Xt)的性質(zhì),并給出了與算子AG相關(guān)的G鞅.另外,對(duì)于經(jīng)典理論而言,Dynkin公式可以由伊藤公式很自然地得到,但是在G期望下,由于其非線性性Dynkin公式一般不成立.不過我們卻是可以給出一非線性的Dynkin公式.并用其推論給出了在非負(fù)整數(shù)n,非負(fù)實(shí)數(shù)t和實(shí)數(shù)x給定情況下(E)[(Bt+x)

13、2n+1]的-個(gè)估計(jì)區(qū)間.主要結(jié)論敘述如下；
　　 定理3.2.1.f∈DG,且對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)x,我們有
　　 定理3.2.2如果我們?nèi)サ粝禂?shù)a,b和c的有界性條件,并假設(shè)f∈C2(R)滿足()2xxf有界Lipschitz連續(xù)性條件,代替f∈C2b(R),那么定理3.2.1仍然成立.
　　 定理3.2.3我們假設(shè)(Xt)t≥0是G-It(o)擴(kuò)散過程并且其滿足的G-SDE(3.1)滿足系數(shù)是有界一致Lipsc

14、hitz連續(xù)性條件.那么對(duì)于所有的滿足()2xxf多項(xiàng)式增長(zhǎng)的函數(shù)f∈C2(R),即存在一個(gè)常數(shù)C和正整數(shù)n使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有
　　 定理3.2.4假設(shè)Xt是G-It(o)擴(kuò)散過程,并設(shè)f∈C2(R)滿足()2xxf是局部Lipschitz連續(xù)的,即對(duì)任意的m≥1存在常數(shù)Lm使得對(duì)所有的滿足｜x｜≤m和｜y｜≤m的實(shí)數(shù)x和y,有定理3.3.2設(shè)實(shí)函數(shù)f∈C2(R)和G-It(o)擴(kuò)散過程(Xt)t≥0滿足下面的兩個(gè)條件之一:<

15、br>　　 (i)()2xxf是一致增長(zhǎng)的,過程Xt滿足的方程的系數(shù)都是有界的.
　　 是上均值為f(x)的G鞅.
　　 而且,我們有下面的分解形式
　　 其中(M)t是L1G(Ωt)中上均值為0的G鞅,(Mt)是上下均值為0的G鞅.
　　 定理3.4.4假設(shè)函數(shù)f和過程Xt如定理3.3.2中一樣定義,則我們有下面的結(jié)果:
　　 (1)f(xt)是G鞅(resp.G-上鞅,G-下鞅)當(dāng)且僅當(dāng)

16、r>　　 AGf(Xt)=0(resp.≤0,≥0),在L1G(Ωt)中,()t≥0.
　　 (2)f(Xt)是沒有均值不確定性的G鞅當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件之一成立:
　　 推論3.4.5假設(shè)函數(shù)f和過程(Xt)t≥0滿足定理3.3.2中的條件,則按定理3.3.2定義的過程(M)t是沒有均值不確定性的G鞅與下面的兩個(gè)條件都等價(jià):
　　 (1)對(duì)任意的t≥0,在L1G(Ωt)中(M)t=0.
　　 (2)σ=

17、1或?qū)θ我獾膖≥0,
　　 定理3.5.1(非線性Dynkin公式)假設(shè)函數(shù)f∈C2(R)和G-It(o)擴(kuò)散過程(Xt)t≥0(初值為X0=x∈R)滿足下面的條件之一:
　　 (ⅰ)()2xxf是多項(xiàng)式增長(zhǎng)的,過程Xt滿足的G-SDE的系數(shù)都是有界的.
　　 (ⅱ)()2xxf∈Cb,lip(R).
　　 則對(duì)任意的t≥0,我們有
　　 是上均值為0的非正的G鞅.
　　 推論3.5.3過