離散非線性薛定諤方程的非平凡孤立子的存在性和多重性.pdf

1、在這篇文章中，我們將首先討論下面這個周期離散非線性薛定諤方程的離散孤立子：
　　 iψn=-△ψn+εnψn-γxnfn(ψn)，n∈Z，其中這里
　　 △ψn=ψn+a+ψn-1-2ψn是一維空間中的離散的拉普拉斯算子，γ=±1，fn(s)=｜s｜2s或者fn(s)=｜s｜2s/1+cns2，s∈R。這里給出的數(shù)列{εn}，{cn}和{xn]是以N為周期的數(shù)列(N是一個正整數(shù))，即對所有的n∈Z有：εn+N=εn，cn

2、+N=cn且xn+N=xn。考慮到孤立子的定義，ψn有這樣的形式：
　　 ψn=une-iωt，這里{un}是一個實值的數(shù)列，并且ω∈R是時間頻率，那么我們得到下面的方程：
　　 一△un+εnun-ωun=γxnfn(un)，n∈Z。
　　 事實上，我們將考慮一個更為一般的周期離散非線性薛定諤方程：
　　 Lun-ωun=γxngn(un)，n∈Z，(DNLS1)其中g(shù)n是一個函數(shù)列，算子L是一個Jac

3、obi算子[61]，并且它的定義如下：
　　 Lun=anun+1+an-1un-1+bnun。在這里，{an}和(6n)是以N為周期的實值數(shù)列，即對所有的n∈Z有：an+N=an且bn+N=bn。
　　 如果an=-1且bn=2+εn，那么方程(DNLS1)就變成了下面這個方程-△un+εnun-ωun=γxngn(un)，n∈Z.(DNLS2)
　　 對于方程(DNLS2)而言，如果離散勢V={εn}是非周期

4、的，且γ=1，我們將討論下面這個非周期的離散非線性薛定諤方程：
　　 一△un+εnun-ωun=gn(un)，n∈Z，(DNLS3)其中這里的gn關(guān)于n∈Z是非周期的。
　　 在我們的文章里面，我們假設(shè)ω屬于算子L的一個有限的譜間隔，或者ω是這個算子的一個譜端點。如果gn是漸進線性或者超線性的時候，我們利用不同的方法得到了離散非線性薛定諤方程的非平凡孤立子的存在性和多重性，其中這篇文章里面的方法有變化推廣的弱linki

5、ng定理，不定的變分問題向確定的問題的一個直接和簡單的轉(zhuǎn)化，以及變化的噴泉定理。值得注意的是，當ω屬于算子L的一個有限的譜間隔的時候，我們不僅解決了由Pankov(2006Nonlinearity1927-40)提出的一個公開問題，而且我們還得到了關(guān)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子存在性的一個充分必要條件。對于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)，當｜s｜→∞，gn(s)是超線性或者漸進線性的時候，如果gn(s)

6、關(guān)于s∈R是奇函數(shù)，那么我們得到了無窮多個幾何不同的解。對于非周期的離散非線性薛定諤方程(DNLS3)，如果gn(s)關(guān)于s∈R是奇函數(shù)，并且gn(s)關(guān)于s在無窮遠處是超線性的，那么我們利用鄒文明的一個變化的噴泉定理得到了這個方程的無窮多個非平凡的孤立子。
　　 總而言之，這篇文章的寫作布局如下：
　　 在第一章里面，我們將先介紹關(guān)于離散非線性薛定諤方程的一些背景知識，以及最近的研究動態(tài)。
　　 在第二章里面，

7、我們假設(shè)ω屬于算子L的一個有限的譜間隔，或者ω是算子L的一個譜端點，我們將研究周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子的存在性，在這一章中，我們利用的方法是來源于Schechter和鄒文明的應(yīng)用于強不定問題的變化推廣的弱linking定理。值得注意的是，我們不僅解決了由Pankov(2006 Nonlinearity1927-40)提出的一個公開問題，而且我們還得到了關(guān)于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)的非平凡孤立子存

8、在性的一個充分必要條件。
　　 在第三章里面，我們假設(shè)ω屬于算子L的一個有限的譜間隔，對于周期離散非線性薛定諤方程(DNLS1)，其中方程的非線性項是超線性或者漸進線性的，如果gn(s)關(guān)于s∈R是奇的，那么我們得到了無窮多個幾何不同的解，這一章利用的方法是不定的變分問題向確定的問題的一個直接和簡單的轉(zhuǎn)化。
　　 在第四章里面，我們將利用Jeanjean的一個變化的噴泉定理來研究周期離散非線性薛定諤方程(DNLS2)的非