一類(lèi)非線性波動(dòng)方程的孤立波研究.pdf

1、非線性現(xiàn)象是自然界中普遍存在的一種重要現(xiàn)象。非線性科學(xué)是隨著研究非線性現(xiàn)象問(wèn)題而形成的一門(mén)科學(xué)，它的研究主體是孤立子、混沌和分形。許多實(shí)際的非線性問(wèn)題最終都可歸結(jié)為非線性系統(tǒng)來(lái)描述。隨著對(duì)非線性問(wèn)題的重視，關(guān)于非線性系統(tǒng)的研究成為當(dāng)今國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題。 在非線性系統(tǒng)中，非線性波動(dòng)方程的孤立子理論研究是其中一個(gè)重要和熱點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于孤立子相關(guān)性質(zhì)的研究在揭示波的傳播規(guī)律、準(zhǔn)確解釋自然現(xiàn)象和確定物理材料屬性等方面均具有極

2、大的科學(xué)研究和應(yīng)用價(jià)值。 在過(guò)去的幾十年中，關(guān)于非線性波動(dòng)方程的孤立子理論研究，特別是孤立波的研究發(fā)展迅速，創(chuàng)造了求解非線性波動(dòng)方程的孤立波的許多方法：有反散射方法、達(dá)布變換方法、貝克隆變換方法、分離變量法、雙線性方法、Painleve截?cái)嗾归_(kāi)法、CK直接法等。近來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，關(guān)于孤立波的研究越來(lái)越多的依賴(lài)于計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用，隨之產(chǎn)生了一系列求解非線性波動(dòng)方程的新方法，并且這些方法逐漸的被應(yīng)用到離散的非線性微分—差分

3、系統(tǒng)中來(lái)研究離散系統(tǒng)的孤立波問(wèn)題。這類(lèi)方法已成為近來(lái)求解非線性波動(dòng)方程解的重要研究?jī)?nèi)容。 本文第一、二章首先介紹了非線性波動(dòng)方程及孤立子理論的研究背景、研究進(jìn)展和發(fā)展現(xiàn)狀和意義，總結(jié)并分析了現(xiàn)有的求解非線性波動(dòng)方程的方法。隨后介紹了本文研究非線性波動(dòng)方程孤立波所用的方法及涉及的相關(guān)的概念、定理。 第三章研究了一類(lèi)非線性波動(dòng)方程的奇異孤立波。通過(guò)把一些經(jīng)典的方法進(jìn)行改進(jìn)，推廣到非線性項(xiàng)更復(fù)雜的非線性波動(dòng)方程--雙sine-

4、Gordon方程，獲得豐富的孤立波(扭結(jié)解，反扭結(jié)解，周期孤立波)，并發(fā)現(xiàn)了一種新型的不連續(xù)解，應(yīng)用守恒律方程理論，證明其為不連續(xù)孤立波；進(jìn)一步研究充分非線性近似雙sine-Gordon方程得到了方程的緊孤立子，尖峰孤立子，多重緊孤立子，多重尖峰孤立子和不連續(xù)孤立波；特別引入非線性強(qiáng)度概念，研究充分非線性Klein-Gordon型方程，應(yīng)用改進(jìn)的廣義映射Riccati方程方法求解得到豐富精確解及多重緊孤立子和奇異的不對(duì)稱(chēng)緊孤立子。

5、 第四章討論了變系數(shù)廣義KdV方程的廣義孤立子問(wèn)題。應(yīng)用輔助方程法，構(gòu)造輔助方程求得變系數(shù)廣義KdV方程的多種精確解，如三角函數(shù)解，孤立波形式解，孤立波解，Jacobi和Weierstrass橢圓函數(shù)解，并且還發(fā)現(xiàn)了一種奇異的扭結(jié)解--不對(duì)稱(chēng)扭結(jié)解；這種方法還提供了根據(jù)不同的參數(shù)值分類(lèi)方程解的方法。這種方法與其它方法比較，具有計(jì)算量小，得到的結(jié)果豐富的優(yōu)點(diǎn)，可以廣泛的應(yīng)用到其它許多變系數(shù)非線性方程的求解問(wèn)題中；隨后我們又應(yīng)用指數(shù)函數(shù)法

6、研究該方程，借助計(jì)算軟件Mathematica得到了變系數(shù)廣義KdV方程的廣義孤立子和周期孤立波。 第五章從定性角度研究了非線性sine-Gordon方程行波解。通過(guò)研究該方程的相圖分岔，分析其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從中尋找同宿軌和周期軌，根據(jù)相圖分岔理論，我們可以得到方程的孤立波和周期尖波的解析表達(dá)式，并得到周期尖波的極限與同宿軌對(duì)應(yīng)的孤立波極限保持一致，它們的極限就是尖峰孤立子；進(jìn)一步給出不同參數(shù)條件下方程的尖峰孤立子和反尖峰孤立子，

7、周期孤立波，扭結(jié)解和反扭結(jié)解的表達(dá)式，通過(guò)數(shù)值模擬給出了部分解的圖像。 第六章研究非線性微分一差分系統(tǒng)。本章對(duì)tanh函數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行推廣，在經(jīng)典tanh展開(kāi)法基礎(chǔ)上，通過(guò)增加負(fù)冪形式的項(xiàng)，并且多項(xiàng)式的元素不再僅僅是雙曲正切函數(shù)，而是滿(mǎn)足一個(gè)Riccati方程，提出廣義tanh-sech法應(yīng)用到非線性微分-差分sine-Gordon方程，求得該方程的孤立波。該方法可看作是雙曲函數(shù)及一些相應(yīng)擴(kuò)展形式的概括，這種方法得到比其它方法更多