一類非線性波動(dòng)方程的孤立波研究.pdf

1、非線性現(xiàn)象是自然界中普遍存在的一種重要現(xiàn)象。非線性科學(xué)是隨著研究非線性現(xiàn)象問題而形成的一門科學(xué)，它的研究主體是孤立子、混沌和分形。許多實(shí)際的非線性問題最終都可歸結(jié)為非線性系統(tǒng)來描述。隨著對非線性問題的重視，關(guān)于非線性系統(tǒng)的研究成為當(dāng)今國內(nèi)外學(xué)術(shù)研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題。 在非線性系統(tǒng)中，非線性波動(dòng)方程的孤立子理論研究是其中一個(gè)重要和熱點(diǎn)內(nèi)容。對于孤立子相關(guān)性質(zhì)的研究在揭示波的傳播規(guī)律、準(zhǔn)確解釋自然現(xiàn)象和確定物理材料屬性等方面均具有極

2、大的科學(xué)研究和應(yīng)用價(jià)值。 在過去的幾十年中，關(guān)于非線性波動(dòng)方程的孤立子理論研究，特別是孤立波的研究發(fā)展迅速，創(chuàng)造了求解非線性波動(dòng)方程的孤立波的許多方法：有反散射方法、達(dá)布變換方法、貝克隆變換方法、分離變量法、雙線性方法、Painleve截?cái)嗾归_法、CK直接法等。近來，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，關(guān)于孤立波的研究越來越多的依賴于計(jì)算機(jī)軟件的應(yīng)用，隨之產(chǎn)生了一系列求解非線性波動(dòng)方程的新方法，并且這些方法逐漸的被應(yīng)用到離散的非線性微分—差分

3、系統(tǒng)中來研究離散系統(tǒng)的孤立波問題。這類方法已成為近來求解非線性波動(dòng)方程解的重要研究內(nèi)容。 本文第一、二章首先介紹了非線性波動(dòng)方程及孤立子理論的研究背景、研究進(jìn)展和發(fā)展現(xiàn)狀和意義，總結(jié)并分析了現(xiàn)有的求解非線性波動(dòng)方程的方法。隨后介紹了本文研究非線性波動(dòng)方程孤立波所用的方法及涉及的相關(guān)的概念、定理。 第三章研究了一類非線性波動(dòng)方程的奇異孤立波。通過把一些經(jīng)典的方法進(jìn)行改進(jìn)，推廣到非線性項(xiàng)更復(fù)雜的非線性波動(dòng)方程--雙sine-

4、Gordon方程，獲得豐富的孤立波(扭結(jié)解，反扭結(jié)解，周期孤立波)，并發(fā)現(xiàn)了一種新型的不連續(xù)解，應(yīng)用守恒律方程理論，證明其為不連續(xù)孤立波；進(jìn)一步研究充分非線性近似雙sine-Gordon方程得到了方程的緊孤立子，尖峰孤立子，多重緊孤立子，多重尖峰孤立子和不連續(xù)孤立波；特別引入非線性強(qiáng)度概念，研究充分非線性Klein-Gordon型方程，應(yīng)用改進(jìn)的廣義映射Riccati方程方法求解得到豐富精確解及多重緊孤立子和奇異的不對稱緊孤立子。

5、 第四章討論了變系數(shù)廣義KdV方程的廣義孤立子問題。應(yīng)用輔助方程法，構(gòu)造輔助方程求得變系數(shù)廣義KdV方程的多種精確解，如三角函數(shù)解，孤立波形式解，孤立波解，Jacobi和Weierstrass橢圓函數(shù)解，并且還發(fā)現(xiàn)了一種奇異的扭結(jié)解--不對稱扭結(jié)解；這種方法還提供了根據(jù)不同的參數(shù)值分類方程解的方法。這種方法與其它方法比較，具有計(jì)算量小，得到的結(jié)果豐富的優(yōu)點(diǎn)，可以廣泛的應(yīng)用到其它許多變系數(shù)非線性方程的求解問題中；隨后我們又應(yīng)用指數(shù)函數(shù)法

6、研究該方程，借助計(jì)算軟件Mathematica得到了變系數(shù)廣義KdV方程的廣義孤立子和周期孤立波。 第五章從定性角度研究了非線性sine-Gordon方程行波解。通過研究該方程的相圖分岔，分析其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，從中尋找同宿軌和周期軌，根據(jù)相圖分岔理論，我們可以得到方程的孤立波和周期尖波的解析表達(dá)式，并得到周期尖波的極限與同宿軌對應(yīng)的孤立波極限保持一致，它們的極限就是尖峰孤立子；進(jìn)一步給出不同參數(shù)條件下方程的尖峰孤立子和反尖峰孤立子，

7、周期孤立波，扭結(jié)解和反扭結(jié)解的表達(dá)式，通過數(shù)值模擬給出了部分解的圖像。 第六章研究非線性微分一差分系統(tǒng)。本章對tanh函數(shù)展開法進(jìn)行推廣，在經(jīng)典tanh展開法基礎(chǔ)上，通過增加負(fù)冪形式的項(xiàng)，并且多項(xiàng)式的元素不再僅僅是雙曲正切函數(shù)，而是滿足一個(gè)Riccati方程，提出廣義tanh-sech法應(yīng)用到非線性微分-差分sine-Gordon方程，求得該方程的孤立波。該方法可看作是雙曲函數(shù)及一些相應(yīng)擴(kuò)展形式的概括，這種方法得到比其它方法更多