一類具粘性阻尼項(xiàng)的非線性波動(dòng)方程的整體吸引子及其維數(shù).pdf

1、本文研究如下的具粘性阻尼項(xiàng)的非線性波動(dòng)方程初邊值問題的解的長時(shí)間行為:其中x∈Ω,t∈R+,σ(s)=s,s≥0,m≥1,Ω是RN中具有光滑邊界的區(qū)域,v是Ω的外法向.g(u)和h(ut)是給定的非線性函數(shù),f是自由項(xiàng).
　　本文分七章:第一章為引言;第二章研究問題(1)-(3)在C(R+V2)∩C1(R+;H)中的整體解的存在性和唯一性;第三章研究問題(1)-(3)在相空間X1=V2×H中整體吸引子的存在性及其維數(shù);第四章研究問

2、題(1)-(3)在C(R+;V2+α)∩C1(R+;Vα)(0<α≤1)空間中解的正則性;第五章研究問題(1)-(3)在相空間X2=V2+α×Vα中整體吸引子的存在性及其維數(shù);第六章研究問題(1)-(3)在相空間X3=V3×V1中整體吸引子的存在性及其維數(shù);第七章對抽象條件加以驗(yàn)證并給出具體實(shí)例.
　　主要結(jié)果如下:定理1假定(H1)g:V2→V-2,其中0<ρ<2,G(s),1≤m≤(m<∞),(a)+=max{0,a},及對任

3、意的,u,v∈V2,||u||V2+||v||V2≤R,有(H2)h=h1+h2,hi:V1→V-1(i=1,2)且存在常數(shù)0<δ1<1,θ1∈(0,1/2),β1>0使得(H3)f∈V-1,(u0,u1)∈X1.則問題(1)-(3)存在唯一解u∈C(R+;V2)∩C1(R+;H),且(u,ut)在空間X1中連續(xù)依賴于初值.注1(H1)意味著對任意的η>0,存在常數(shù)Cη及使得注2定理1中的解(u,ut)我們用S(t)(u0,u1)=(u

4、,ut)表示.則算子族{S(t)}t≥0是空間X1中的C0-半群.
　　定理2在定理1的假定下,如果存在常數(shù)0<δ2<1/2及σ1:0<σ1<<1使得對任意的v∈V1,有(H4)(H5)f∈V4σ1-1及對任意的(u,v)∈V1,||(u,v)||X1≤R,有則連續(xù)半群S(t)(見注2)在X1中存在整體吸引子A,A是連通的并有有限的分形維數(shù)和Hausdorff維數(shù).
　　定理3在定理1中(H1)-(H2)成立的條件下,如果(

5、H6)映射G(見(4)):V2→L1且存在常數(shù)δ3∈(0,1),使得對任意的u∈V2+α,v∈V1+α,||v||≤R,||u||V2≤R,有(H7)f∈Va-1,(u0,u1)∈V2+α×Vα其中0<α≤1.則問題(1)-(3)存在唯一解u∈C(R+;V2+α)∩C1(R+;Vα)且(u,ut)在空間X2中連續(xù)依賴于(u0,u1).
　　定理4在定理3假定成立的條件下,取0<α<1,如果存在一常數(shù)σ2:0<σ2<1-α使得(H8

6、)f∈V-1+α+σ2和對任意的(u,v)∈V2+α×Vα,||(u,v)||X2≤R,有則C0-半群S(t)(見注2)在X2中存在整體吸引子A,A是連通的并有有限的分形維數(shù)和Hausdorff維數(shù).
　　定理5在定理3中我們?nèi)ˇ?1,m≥2,如果存在δ:0<δ<<1使得任取u∈V3+δ,||u||V3≤R,u∈V1+δ,||v||V1≤R,都有(H9)則注2中定義的C0-半群S(t)在X3中存在整體吸引子A,A是連通的并有有限的