不適定問題的正則化理論及其應用.pdf

1、反問題與不適定問題是現(xiàn)在數(shù)學中的一個研究熱點問題。問題是適定的指的是問題的解存在，唯一并且穩(wěn)定，如果有一個不滿足，則稱為不適定的。不適定問題的求解面臨的最大困難是解的不穩(wěn)定性，即：原始資料小的觀測誤差(這在實際中是不可避免的)會導致近似解與真解的嚴重偏離，這就是不適定性問題的本質(zhì)困難。求解不適定問題的普遍方法是正則化方法。如何建立有效的正則化方法及算法是反問題和不適定問題研究領(lǐng)域中的重要內(nèi)容。 本文從一些實例出發(fā)，介紹了反問題和

2、不適定問題的基本概念，并討論了線性緊算了方程的Moore-Penrose廣義解，得出了Moore-Penrose廣義解的不穩(wěn)定性的結(jié)論。介紹了不適定問題正則化的一般理論，主要討論了各種常用的正則化方法包括Tikhonov正則化，Landweber迭代法，并研究了正則解的誤差估計及正則參數(shù)的選取問題。 Landweber迭代法對于求解大規(guī)模問題是十分有利的，而且比較穩(wěn)定。目前，Landweber迭代法已進一步發(fā)展于求解非線性的不適

3、定問題。但是，Landweber迭代序列收斂速度(特別是當真實解的“光滑性”很差時)是相當慢的。本文給出了一種新的迭代格式，這種迭代格式能夠大大加快收斂速度。 本文還將Landweber迭代法應用于數(shù)值微分問題，將數(shù)值微分問題轉(zhuǎn)化為一個特殊的第一類Fredholm積分方程的求解問題，應用文中設計的算法給出了具體的數(shù)值實驗。 線性微分方程中的邊界函數(shù)識別問題是數(shù)學物理中常見的并且是非常重要的問題，該問題的難點在于端點的確定