包含Smarandache函數(shù)和歐拉函數(shù)的方程及其性質(zhì)的研究.pdf

1、眾所周知，數(shù)論的一個(gè)重要內(nèi)容就是研究數(shù)論函數(shù)的各種性質(zhì).從古到今，數(shù)學(xué)家們對(duì)各種數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了研究，得到了許多重要的結(jié)論，從而促進(jìn)了數(shù)論的不斷向前發(fā)展.1991年，羅馬尼亞數(shù)論專家Florentin Smarandache出版了《Only Problems，Not Solutions!》一書(shū)，引起許多學(xué)者的關(guān)注.在這本書(shū)里，F(xiàn).Smarandache教授提出了105個(gè)有關(guān)特殊數(shù)列、算術(shù)方程等方面的問(wèn)題與猜想.許多學(xué)者對(duì)這些問(wèn)題和猜

2、想進(jìn)行了深入的研究，獲得了很多具有重要數(shù)學(xué)理論價(jià)值的科研成果.在此基礎(chǔ)上，他們也提出了很多與Smarandache函數(shù)和經(jīng)典數(shù)論函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，并對(duì)它們進(jìn)行了研究與探索.
　　 基于對(duì)Smarandache函數(shù)的興趣，本文采用了初等數(shù)論與解析數(shù)論中的基本方法與理論，對(duì)一些與Smarandache函數(shù)相關(guān)的方程的可解性進(jìn)行了研究.具體來(lái)說(shuō)，文章的主要成果包括以下幾個(gè)方面：
　　 1.利用初等方法解決了同余方程
　　

3、 1S(n-1)+2S(n-1)+…+(n-1)S(n-1)+1≡0 modn的可解性問(wèn)題，最終得到該方程有且只有三個(gè)素?cái)?shù)解.
　　 2.利用分類討論的方法研究了一個(gè)與(Sk)(n)和Euler函數(shù)有關(guān)的方程的可解性問(wèn)題，得到了該方程的所有正整數(shù)解.
　　 3.根據(jù)Z(n)和Z*(n)的性質(zhì)，研究了方程Z(n)+Z*(n)=n的偶數(shù)解問(wèn)題.當(dāng)n屬于n=2k和n=2p1p2…pk，2＜p1＜p2＜…＜pk，k≥1這兩種情況