求解一些奇異微分方程的再生核方法.pdf

1、奇異微分方程出現(xiàn)在各種應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)中，如：氣體動力學(xué)、核物理、化學(xué)反應(yīng)和原子結(jié)構(gòu)的研究。所以，該問題得到了廣泛的關(guān)注，有很多學(xué)者對其進(jìn)行了研究，尤其對其數(shù)值求解方法表現(xiàn)出濃厚的興趣。一般來說，通常的數(shù)值方法得不到這類方程的好的近似解，這就需要去尋求新的求解方法。
　　本論文主要研究求解奇異微分方程的再生核方法，該方法以再生核理論為基礎(chǔ)。再生核方法的主要優(yōu)勢是：對很多難以求解的具有復(fù)雜邊界條件（周期邊界條件、積分邊界條件等）的微

2、分方程，可以很容易地放在再生核空間中進(jìn)行求解。首先構(gòu)造滿足復(fù)雜邊界條件的再生核空間并求得其再生核，然后利用再生核空間的良好性質(zhì)和計(jì)算技巧來求解滿足該邊界條件的微分方程。本論文的主要研究成果如下：
　　首先，研究再生核理論。通過在再生核空間中定義新的內(nèi)積，得到了新的再生核表達(dá)式，它比以往的再生核表達(dá)式大大簡化，是一種多項(xiàng)式形式的再生核。利用它去解決問題可以減少計(jì)算量，防止更多的計(jì)算誤差的堆積，從而可以提高計(jì)算精度。
　　其次，

3、提出了求解線性奇異兩點(diǎn)邊值問題的再生核方法，獲得了級數(shù)形式的精確解，并通過對該級數(shù)的截?cái)嗟玫搅私平?，給出了誤差估計(jì)。基于這種求解線性奇異微分方程的再生核方法，構(gòu)造了兩種求解非線性奇異周期邊值問題的迭代再生核算法，并證明了其收斂性。
　　之后，針對傳統(tǒng)變分迭代方法的不足，提出了求解非線性奇異初值問題的變分迭代-再生核方法。該方法是將變分迭代與再生核這兩種方法巧妙地結(jié)合起來。其主要優(yōu)點(diǎn)是克服了傳統(tǒng)的變分迭代方法受非線性項(xiàng)的形式限制的

4、缺陷，提高了傳統(tǒng)的變分迭代方法的計(jì)算速度。另外，結(jié)合同倫擾動方法和再生核方法，設(shè)計(jì)了求解非線性奇異兩點(diǎn)邊值問題的同倫擾動-再生核方法。同倫擾動方法基于傳統(tǒng)的擾動方法和同倫技術(shù)，同倫擾動方法能把一個(gè)非線性奇異兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化成一組線性奇異兩點(diǎn)邊值問題，并且在很多情況下能得到快速收斂的級數(shù)解。再生核方法作為一種解析求解技術(shù)，能很好地求解轉(zhuǎn)化成的線性奇異兩點(diǎn)邊值問題。同倫擾動-再生核方法結(jié)合了這兩種方法的優(yōu)勢，能有效地求解非線性奇異兩點(diǎn)邊值問

5、題。
　　隨后，研究奇異攝動兩點(diǎn)邊值問題的求解方法。對于二階線性奇異攝動兩點(diǎn)邊值問題，提出了一種有效的求解方法，該方法的主要步驟是：（1）通過一個(gè)連接點(diǎn)把原問題分解成邊界層區(qū)域和外部區(qū)域兩個(gè)問題；（2）確定連接點(diǎn)的漸近內(nèi)部條件；（3）分別求解邊界層區(qū)域和外部區(qū)域問題。對于三階線性奇異攝動兩點(diǎn)邊值問題和二階非線性奇異攝動兩點(diǎn)邊值問題，基于漸進(jìn)展開和再生核方法，設(shè)計(jì)了求解該問題的有效方法。
　　最后，提出了求解一類二階線性奇異三

6、點(diǎn)邊值問題的再生核方法。首先把該問題轉(zhuǎn)化成再生核方法易于求解的等價(jià)的積分-微分方程，然后用再生核方法對其進(jìn)行求解。對于非線性的情況，提供了三種處理方法：擬線性化技術(shù)、迭代再生核方法和同倫擾動-再生核方法。
　　再生核理論在曲線擬合、函數(shù)估計(jì)、模型描述、概率與統(tǒng)計(jì)方面有重要的應(yīng)用。基于再生核理論，本論文提出了一些求解奇異微分方程，如：奇異兩點(diǎn)邊值問題，二階、三階奇異攝動兩點(diǎn)邊值問題，二階非線性奇異周期邊值問題和奇異三點(diǎn)邊值問題的解析