非線性波動(dòng)方程解的生命跨度及破裂性質(zhì).pdf

1、非線性波動(dòng)方程刻畫了現(xiàn)實(shí)世界中許多重要的物理現(xiàn)象，是最重要的偏微分方程之一.本文主要關(guān)心非線性波動(dòng)方程小初值柯西問題(或區(qū)域外問題)經(jīng)典解生命跨度的上界估計(jì)與下界估計(jì)及其解的破裂性質(zhì).全文的結(jié)構(gòu)安排如下：
　　第一章概要地介紹了非線性波動(dòng)方程小初值問題解的生命跨度及破裂性態(tài)的歷史發(fā)展和研究進(jìn)展，前人在處理與本文相關(guān)的非線性波動(dòng)方程問題方面的相關(guān)工作及研究經(jīng)典解的生命跨度及破裂性態(tài)的方法.進(jìn)一步我們對非線性波動(dòng)方程小初值的相關(guān)問題的

2、提法，處理上的大體思路給出簡要說明.同時(shí)還簡單陳述了本文的主要結(jié)果。
　　第二章考察了在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維(n≥3)空間中半線性波動(dòng)方程的初邊值問題解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果。我們證明了不論初值多么小，問題都沒有整體解存在，而且我們給出了解的生命跨度的上界估計(jì)。
　　在第二章的基礎(chǔ)上，第三章我們繼續(xù)考慮在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的二維空間中的半線性波動(dòng)方程的初邊值問題的解的破裂性質(zhì)

3、.我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，問題都沒有整體解存在，同時(shí)我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計(jì).關(guān)于外區(qū)域上的變系數(shù)的半線性波動(dòng)方程的二維初邊值問題，它是很難處理的因?yàn)槎S調(diào)和方程的基本解是與高維情形時(shí)的基本解是不同的，因此在關(guān)鍵的試探函數(shù)項(xiàng)φ0中將出現(xiàn)一個(gè)對數(shù)項(xiàng)的增長因子(參見第三章).本章的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是當(dāng)微分不等式中包含一個(gè)對數(shù)項(xiàng)時(shí)我們改進(jìn)了文獻(xiàn)[57，p.386]中提出的眾所周知的常微分方程破裂結(jié)果

4、引理2.1，同時(shí)我們獲得了破裂時(shí)間的上界估計(jì).基于關(guān)鍵引理3.2.2，我們將建立二維初邊值問題解的破裂結(jié)果。
　　在上面兩章的基礎(chǔ)上，接下來在第四章我們繼續(xù)研究在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的一維空間中半線性波動(dòng)方程初邊值問題解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題的解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，這個(gè)問題都沒有整體解存在，而且我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計(jì)。
　　前文研究了在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維

5、空間中半線性波動(dòng)方程的初邊值問題.第五章中我們繼續(xù)考慮在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維空間中的導(dǎo)數(shù)半線性波動(dòng)方程的初邊值問題的解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，這個(gè)問題都沒有整體解存在，而且我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計(jì)。
　　第六章我們考慮外區(qū)域上一般形式的一維擬線性波動(dòng)方程utt-uxx=6(u，Du)uxx+2a0(u，Du)utx+F(u，Du)的初邊值問題.在小初值，

6、零邊值的條件下，我們獲得了一般形式的一維擬線性波動(dòng)方程的初邊值問題的經(jīng)典解的生命跨度的精確下界估計(jì)，且得到的結(jié)果與初值問題情形的相應(yīng)結(jié)果是不同的。
　　第七章我們將證明一般的非線性波動(dòng)方程在n=2維以及三次非線性項(xiàng)的情形下帶有小初值的柯西問題的經(jīng)典解的生命跨度的精確下界估計(jì)(問題參見李大潛，陳韻梅[43]).我們將要證明解將在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且解的生命跨度T(ε)有一個(gè)與下界估計(jì)屬于同一類型的上界T(ε)≤exp(Aε-2)，其中