非線性波動方程解的生命跨度及破裂性質(zhì).pdf

1、非線性波動方程刻畫了現(xiàn)實世界中許多重要的物理現(xiàn)象，是最重要的偏微分方程之一.本文主要關(guān)心非線性波動方程小初值柯西問題(或區(qū)域外問題)經(jīng)典解生命跨度的上界估計與下界估計及其解的破裂性質(zhì).全文的結(jié)構(gòu)安排如下：
　　第一章概要地介紹了非線性波動方程小初值問題解的生命跨度及破裂性態(tài)的歷史發(fā)展和研究進展，前人在處理與本文相關(guān)的非線性波動方程問題方面的相關(guān)工作及研究經(jīng)典解的生命跨度及破裂性態(tài)的方法.進一步我們對非線性波動方程小初值的相關(guān)問題的

2、提法，處理上的大體思路給出簡要說明.同時還簡單陳述了本文的主要結(jié)果。
　　第二章考察了在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維(n≥3)空間中半線性波動方程的初邊值問題解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果。我們證明了不論初值多么小，問題都沒有整體解存在，而且我們給出了解的生命跨度的上界估計。
　　在第二章的基礎(chǔ)上，第三章我們繼續(xù)考慮在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的二維空間中的半線性波動方程的初邊值問題的解的破裂性質(zhì)

3、.我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，問題都沒有整體解存在，同時我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計.關(guān)于外區(qū)域上的變系數(shù)的半線性波動方程的二維初邊值問題，它是很難處理的因為二維調(diào)和方程的基本解是與高維情形時的基本解是不同的，因此在關(guān)鍵的試探函數(shù)項φ0中將出現(xiàn)一個對數(shù)項的增長因子(參見第三章).本章的一個關(guān)鍵點是當(dāng)微分不等式中包含一個對數(shù)項時我們改進了文獻[57，p.386]中提出的眾所周知的常微分方程破裂結(jié)果

4、引理2.1，同時我們獲得了破裂時間的上界估計.基于關(guān)鍵引理3.2.2，我們將建立二維初邊值問題解的破裂結(jié)果。
　　在上面兩章的基礎(chǔ)上，接下來在第四章我們繼續(xù)研究在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的一維空間中半線性波動方程初邊值問題解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題的解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，這個問題都沒有整體解存在，而且我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計。
　　前文研究了在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維

5、空間中半線性波動方程的初邊值問題.第五章中我們繼續(xù)考慮在外區(qū)域上變系數(shù)的且?guī)Т闻R界指數(shù)的n維空間中的導(dǎo)數(shù)半線性波動方程的初邊值問題的解的破裂性質(zhì).我們建立了初邊值問題解的破裂結(jié)果，而且證明了不論初值多么小，這個問題都沒有整體解存在，而且我們給出了問題的解的生命跨度的上界估計。
　　第六章我們考慮外區(qū)域上一般形式的一維擬線性波動方程utt-uxx=6(u，Du)uxx+2a0(u，Du)utx+F(u，Du)的初邊值問題.在小初值，

6、零邊值的條件下，我們獲得了一般形式的一維擬線性波動方程的初邊值問題的經(jīng)典解的生命跨度的精確下界估計，且得到的結(jié)果與初值問題情形的相應(yīng)結(jié)果是不同的。
　　第七章我們將證明一般的非線性波動方程在n=2維以及三次非線性項的情形下帶有小初值的柯西問題的經(jīng)典解的生命跨度的精確下界估計(問題參見李大潛，陳韻梅[43]).我們將要證明解將在有限時間內(nèi)破裂，且解的生命跨度T(ε)有一個與下界估計屬于同一類型的上界T(ε)≤exp(Aε-2)，其中