數(shù)學(xué)論文-正定矩陣集上的凹性定理

1、<p>　　正定矩陣集上的凹性定理</p><p>　?。ㄐ⒏袑W(xué)院 數(shù)學(xué)系021113132，湖北 孝感432100）</p><p>　　摘 要：本文將數(shù)學(xué)分析中的凹（凸）函數(shù)概念拓廣到正定矩陣集上，給出了Minkovski不等式的一種簡(jiǎn)單證法，進(jìn)而證明了本文的主要結(jié)果：</p><p>　　對(duì)任意正定矩陣、及，有</p><p>

2、;<b>　　.</b></p><p>　　關(guān)鍵詞：正定矩陣；凹性定理；Minkovski不等式</p><p>　　A Concavity Theorem Of Positive</p><p>　　Definite Matrix Set</p><p>　　LU Lan-qiu</p><p&g

3、t;　　(Dept.Math.,XiaoGan University 021113132,XiaoGan 432100,HuBei)</p><p>　　Abstract:In this paper,we generalize the concave function’s conception of mathematical analysis to the positive definite matrix set

4、,we also give a simple proof of Minkovski inequality,and then prove the major conclusion: </p><p>　　For any positive definite matrix 、and，we have </p><p><b>　　.</b></p><p&

5、gt;　　Key words:Positive definite matrix; Concavity theorem;Minkovski inequality.</p><p><b>　　0 引言</b></p><p>　　矩陣的行列式是矩陣中的一個(gè)重要概念，它在線性方程組和矩陣的特征值等方面有相當(dāng)重要的地位，人們對(duì)于有關(guān)矩陣的行列式不等式已經(jīng)得到了一些漂亮的結(jié)

6、果，比如Minkovski不等式[1]：</p><p><b>　　（1）</b></p><p>　　本文將給出這個(gè)不等式的一種新證法，適用于更廣泛的一類矩陣，還有Fanky</p><p><b>　　凹性定：</b></p><p><b>　?。?）</b></

7、p><p>　　利用不等式的一個(gè)重要性質(zhì)：幾何平均值不小于算術(shù)平均值，由不等式（1），可</p><p><b>　　得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　進(jìn)一步化為</b></p><p><b>　?。?/p>

8、3） </b></p><p>　　對(duì)（3）兩邊取對(duì)數(shù)，得到</p><p><b>　　（4）</b></p><p>　　能否將（4）推廣到更一般的結(jié)果，即若、為正定矩陣，對(duì)任意的，</p><p><b>　　是否有</b></p><p><b>

9、;　?。?）</b></p><p>　　本文將證明這一結(jié)論，同時(shí)將數(shù)學(xué)分析中的凹（凸）函數(shù)概念進(jìn)行推廣，定義正</p><p>　　定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)，最后考慮了給出正定矩陣集上的凹函數(shù)的一些應(yīng)用．</p><p>　　本文將建立關(guān)于正定矩陣的幾個(gè)引理，借助這些結(jié)論，用一種較為初等的方法證明正定矩陣的Minkovski不等式，最后證明我們的主要結(jié)

10、果，即：</p><p>　　定理　對(duì)任意正定矩陣、及，有</p><p>　?。?（6）</p><p>　　本文用表示實(shí)數(shù)域，用、分別表示是矩陣的轉(zhuǎn)置和行列式，用表示所有矩陣構(gòu)成的線性空間．</p><p><b>　?。薄』靖拍?lt;/b></p><p>　　定義1[3

11、]　設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣，如果對(duì)所有非零的，有</p><p>　　則稱為正定二次型，而稱為正定矩陣.</p><p>　　實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣有多種等價(jià)定義形式，幾種常見的等價(jià)命題是[3]：</p><p>　　引理1[3]　設(shè)為級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣，則下列命題等價(jià)：</p><p><b>　　(ⅰ)為正定矩陣；</b></

12、p><p>　　(ⅱ)合同于單位矩陣；</p><p>　　(ⅲ)的所有順序主子式全大于零；</p><p>　　(ⅳ)的正慣性指數(shù)為；</p><p>　　(ⅴ)的的所有特征值全大于零；</p><p>　　定義2[4] 設(shè)在上有定義，如果對(duì),及0，成立不等式</p><p>　　則稱是上的凹函

13、數(shù).如果不等號(hào)反向，則稱是上的凸函數(shù).</p><p>　　下面，我們把數(shù)學(xué)分析的凹（凸）函數(shù)概念推廣為</p><p>　　定義3 設(shè)為在一個(gè)定義在上的實(shí)函數(shù)，如果對(duì)任意的正定矩陣、及任意，都有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　稱是正定矩陣集上的凹函數(shù). 如果不等號(hào)反向，則稱是正定矩

14、陣集上的凸函數(shù).</p><p>　　比較根據(jù)定義2與定義3可知，正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)與通常的凹（凸）函數(shù)相比較，它實(shí)際上是一種強(qiáng)凹（凸）函數(shù).當(dāng)是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)時(shí)，它一定也是(0,)上的凹（凸）函數(shù)，這可以從正定矩陣、都取矩陣，即都取正實(shí)數(shù)看出；反之，對(duì)一般的凹（凸）函數(shù)，它們未必一定是正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù). </p><p>　　對(duì)于，由，可知是上的凹函數(shù)，本文

15、的主要結(jié)果說明了同時(shí)還是是正定矩陣集上的凹函數(shù).</p><p>　　定義4[5] 任意，若存在可逆矩陣，使得</p><p>　　、同時(shí)為(主對(duì)角元素為非負(fù)實(shí)數(shù))的上三角矩陣，則稱、為可廣義同時(shí)(非負(fù))上三角化，當(dāng)時(shí)，則稱、可同時(shí)(非負(fù))上三角化.</p><p>　　根據(jù)文獻(xiàn)[5]及[6]中的結(jié)果，有</p><p>　　對(duì)，若、滿足下

16、列條件之一，則它們可廣義同時(shí)上三角化：</p><p><b>　　(ⅰ) 或；</b></p><p>　　(ⅱ) 、為正定矩陣；</p><p>　　(ⅲ) 的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)；</p><p>　　(ⅳ) ,且、的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)</p><p>　?。病∫砼c定理的證明</p>

17、<p>　　為證明主要結(jié)果及討論正定矩陣集上的凹（凸）函數(shù)，下面，我們給出一些引論.</p><p>　　引理1　設(shè)、是實(shí)對(duì)稱陣，是正定陣，則存在實(shí)可逆陣，使</p><p><b>　　為對(duì)角陣.</b></p><p>　　證明　由于是正定陣，從而合同于，即存在實(shí)可逆陣，使,而仍為實(shí)對(duì)稱陣，從而存在正交陣，使</p>

18、;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中是的特征值，令，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是，有</b></p><p><b>　?。?）</b></p><

19、p>　　注:　利用本證明方法，可以得出正定矩陣的一個(gè)重要結(jié)果：</p><p>　　引理2　設(shè)、都是正定矩陣，則存在實(shí)可逆陣，使</p><p><b>　　，，這里，.</b></p><p>　　證明　仿照引理1的證明，只需注意到為正定矩陣，引理得證.</p><p>　　引理3[7]　對(duì)任意正定矩陣、，都有&

20、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p>　　引理4[5] (赫爾特不等式)　設(shè)，，，則</p><p>　　證明　當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)或時(shí)等式成立；</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，記，則有</b></p><p><b>　　所以，即得<

21、;/b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　令則有</b></p><p><b>　　引理2成立.</b></p><p>　　結(jié)合引理[1]、引理[2]、引理[3]，我們給出著名的Minkovski不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單證法，即下面的命題：

22、</p><p>　　命題（Minkovski不等式）設(shè)、是正定矩陣，則</p><p>　　證明　由引理2，存在實(shí)可逆陣，使</p><p>　　，　　　 　　（10）</p><p><b>　　因此，有</b></p><p><b>　?。?1）</b></

23、p><p><b>　　這里，.</b></p><p>　　對(duì)（10）、（11）取行列式，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　注意到，則</b></p&

24、gt;<p><b>　　得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　再由引理3的結(jié)論：</b></p><p><b>　　，</b>&l

25、t;/p><p><b>　　故有</b></p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　命題得證．</b></p><p>　　最后，我們來證明本文的主要結(jié)果</p><p><b>　　定理的證明　</b>&l

26、t;/p><p><b>　　要證　，即證</b></p><p><b>　　(12)</b></p><p>　　由引理1，可逆矩陣，使得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　同理，有　　</b>&l

27、t;/p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　化簡(jiǎn)為</b></p><p><b>　　即證</b></p><p>　　由引理4中赫爾特不等式的特例(的情形)：<

28、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　從而，證得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　推論1 若、可同時(shí)非負(fù)上三角化，即存在可逆實(shí)矩

29、陣，使得</p><p><b>　　與</b></p><p>　　成立，這里都是非負(fù)實(shí)數(shù)，.則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明　類似于定理1的方法可證，這里從略.</p><p>　　推論2 對(duì)，若、滿足下列條件之一：</p>

30、;<p><b>　　(ⅰ) 或；</b></p><p>　　(ⅱ) 、為正定矩陣；</p><p>　　(ⅲ) 的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)；</p><p>　　(ⅳ) ,且、的特征根為非負(fù)實(shí)數(shù)</p><p><b>　　則</b></p><p><b&g

31、t;　　.</b></p><p>　　證明　根據(jù)文獻(xiàn)[5]及[6]中的結(jié)果，當(dāng)、滿足上述條件之一時(shí)，、可同時(shí)非負(fù)上三角化，由推論1即得本推論結(jié)論成立.</p><p>　　致謝：感謝數(shù)學(xué)系胡付高副教授的悉心指導(dǎo).</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] Bellman R.

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