概率論課件二維隨機變量及其分布

1、一、二維隨機變量,在實際應(yīng)用中，,有些隨機現(xiàn)象需要同時用兩個或以,上的隨機變量來描述.,例如，,研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童,前兒童的發(fā)育情況時，,體重,這里，,{某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童},上的兩個隨機變量.,在這種情況下，,我們不但要研究,多個隨機變量各自的統(tǒng)計規(guī)律，,而且還要研究它們之,間的統(tǒng)計相依關(guān)系，,因而需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng),計規(guī)律，,即多維隨機變量的分布.,由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，,故我們,二維隨機變量,由于從二

2、維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，,故我們,二維隨機變量,由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，,故我們,重點討論二維隨機變量.,定義,設(shè)隨機試驗的樣本空間為,而,上的二維隨機變量或二維隨機向量.,注：,一般地，,,完,二、二維隨機變量的分布函數(shù),而且還依賴于這兩個隨機變量的相互關(guān)系,,與一維情況類,我們也借助“分布函數(shù)”來研究二維隨機變量.,定義,對任意實數(shù),二元函數(shù),故需,似,,或稱為隨,二維隨機變量的分布函數(shù),,,記為,或稱為隨,

3、二維隨機變量的分布函數(shù),,,記為,或稱為隨機,若將二維隨機變量,視為平面上隨機點的坐,標(biāo)，,則分布函數(shù),二維隨機變量的分布函數(shù),二維隨機變量的分布函數(shù),由概率的加法法則，,的概率,二維隨機變量的分布函數(shù),二維隨機變量的分布函數(shù),則可由,二維隨機變量的分布函數(shù),則可由,二維隨機變量的分布函數(shù),則可由,的,邊緣分布函數(shù).,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),完,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：,且,(1),注：,以上四個等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（

4、2）,即,對任意固定的,對任意固定的,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),注：,以上四個等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（2）,即,聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì),注：,以上四個等式可從幾何上進(jìn)行說明.,（2）,即,對任意固定的,當(dāng),對任意固定的,當(dāng),（3）,即,完,例1,(1),試確定常數(shù),(2),解,(1),由二維隨機變量的分布函數(shù)的性質(zhì),,可得,由這三個等式中的第一個等式知,例1,(1),試確定常數(shù),(2),解,(1),由這三個等式中的第一個等式知,例1,(1),

5、試確定常數(shù),(2),解,由這三個等式中的第一個等式知,故由第二、三個等式知,于是得,(1),(2),完,三、二維離散型隨機變量及其概率分布,為二維離散型隨機變量,,均為離散型隨機變量.,定義,值為,則稱,則,均為離,二維離散型隨機變量及其概率分布,二維離散型隨機變量及其概率分布,易見，,滿足下列性質(zhì)：,與一維情形類似，,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形,式來表示，,并稱之為聯(lián)合概率分布表,分布:,二維離散型隨機變量及其概率分布,分布:,二維

6、離散型隨機變量及其概率分布,分布:,關(guān)于,注：,完,聯(lián)合概率分布表,與一維情形類似，,有時也將聯(lián)合概率分布用表格形,式來表示，,并稱為聯(lián)合概率分布表：,聯(lián)合概率分布表,聯(lián)合概率分布表,對離散型隨機變量而言，,聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合,分布函數(shù)更加直觀，,而且能夠更加方便地確定,設(shè)二維離散型隨機變,量的概率分布為,則,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,聯(lián)合概率分布表,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,聯(lián)合概率分布

7、表,特別地，,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):,分布：,關(guān)于,聯(lián)合概率分布表,分布：,關(guān)于,聯(lián)合概率分布表,分布：,關(guān)于,注：,完,例2,設(shè)隨機變量,在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數(shù)值,,解,且,取不,例2,設(shè)隨機變量,在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數(shù)值,,解,例2,設(shè)隨機變量,在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取,一個值,,另一個隨機變量,一整數(shù)值,,解,

8、完,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現(xiàn)的次數(shù),,出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,,解,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現(xiàn)的次數(shù),,出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,,解,例3,把一枚均勻硬幣拋擲三次,,中正面出現(xiàn)的次數(shù),,出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值,,解,緣分布.,從而得右表,完,例4,設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為,解,例4,設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為,解,例4,設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布為,解,完,例5,求,解,完,例6,十個值中取,一個

9、值.,設(shè),并求分布律.,解,數(shù)),,所有可能取值為1,2,3,4;,所有可能取值為0,1,2.,的概,率,,例6,十個值中取,一個值.,設(shè),并求分布律.,解,數(shù)),,四、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度,定義,為其分布函,數(shù)，,若存在一個非負(fù)可積的二元函數(shù),任意實數(shù),有,的概率密度(密度函數(shù))，,密度(聯(lián)合密度函數(shù)).,使得對,(1),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,(1),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,(1),(3),的概率為,特別地，,邊緣

10、分布函數(shù),(2),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數(shù),連續(xù)型隨機變量及其概率密度,特別地，,邊緣分布函數(shù),上式表明，,是連續(xù)型隨機變量，,且其密度函數(shù)為:,同理，,是連續(xù)型隨機變量，,且其密度函數(shù)為：,連續(xù)型隨機變量及其概率密度,連續(xù)型隨機變量及其概率密度,度函數(shù).,(4),則有,進(jìn)一步，,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，,可推得：,有,小時，,即，,完,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,(1),即有,例7,(1),求分布

11、函數(shù),(2),求概率,解,(2),即有,及其下方的部分,,如圖.,于是,例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),例7,(1),求分布函數(shù),(2),求概率,解,于是,(2),完,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(1),,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊

12、緣密度.,解,(2),例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),即,例8,其它,求,(1),的值;,(2),兩個邊緣密度.,解,(2),即,完,例9,求邊緣概率密度,解,例9,求邊緣概率密度,解,例9,求邊緣概率密度,解,完,二維均勻分布,其面積為,若二維隨機,其它,注：,幾何上為定義在,面.,應(yīng)用舉例：,二維均勻分布,應(yīng)用舉例：,二維均勻分布,應(yīng)用舉例：,的概率與小區(qū)域的,而與,的位置無關(guān)，,,上任投一質(zhì)點，

13、,若質(zhì)點,面積成正比,,分布.,完,矩形域上的均勻分布,且分別為,其它,其它,仍為均勻分布，,但對其它形狀的區(qū)域,不一定有上述結(jié)論.,完,例10,分布,,解,從而,例10,分布,,解,例10,分布,,解,成,完,二維正態(tài)分布,且,的二維正態(tài)分布.,記為,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,二維正態(tài)分布,注：,(1),如右圖.,服從二維正

14、態(tài)分布的概率密度函數(shù)的典型,(2),二維正態(tài)分布的兩個邊緣,即,密度仍是正態(tài)分布，,完,推導(dǎo),二維正態(tài)分布的兩個邊緣密度仍是正態(tài)分布,事實上，,因為,而且,于是,令,則有,令,則有,令,則有,同理,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,注：,上述結(jié)果表明，,二維正態(tài)隨機變量的兩

15、個邊原緣,分布都是一維正態(tài)分布，,且都不依賴于參數(shù),亦即,對給定的,態(tài)分布，,但它們的邊緣分布都是相同的,,一般來說是不能確定二維隨,因此僅由關(guān)于,完,例11,解,注:,此例說明,,邊緣分布均為正態(tài)分布的二維隨機,變量,,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.,完,課堂練習(xí),1.,將兩封信隨意地投入3個郵筒,,投入第1,2號郵筒中信的數(shù)目,,分布及邊緣概率分布.,2.,求(1),(2),的邊緣密度.,完,練習(xí)解答,1.,將兩封信隨意地投入3個

16、郵筒,,投入第1,2號郵筒中信的數(shù)目,,分布及邊緣概率分布.,解,各自的可能取值顯然均為,由題設(shè)知,,因而相應(yīng)的概率,均為0,,我們將其標(biāo)在聯(lián)合概率分布表中相應(yīng)位置.,取其它值的概率可由古典概型計算,,由于對,稱性,,我們實際上只需計算下列概率:,練習(xí)解答,解,練習(xí)解答,解,邊緣概率分布可直接在聯(lián)合概率分布表中計算,,的概率分布由,列和產(chǎn)生,(見下表).,練習(xí)解答,解,邊緣概率分布可直接在聯(lián)合概率分布表中計算,,的概率分布由,列和產(chǎn)生,